Wieso gilt folgende Gleichung? sin(4x) = …

Question

Hallo ich hab folgende Aufgabe :

und wüsste nun gerne wieso sin(4x) = Im (e^{i*4*x}) gilt.

Liebe Grüße

Tobias

Comments

" wüsste nun gerne wieso sin(4x) = Im (e^i*4*x)  " 

Das ist so definiert ;) 

Ausführlicher ist ja die Definition 

e^i*4*x = cos(4x) + j sin(4x) 

Nun nimmt man davon den Imaginärteil. 

Du sollst nun allerdings mit  sin(4x) = Im (e^i*4*x)  beginnen und das nicht mehr in Frage stellen. 

Answer 1

es ist 

$$ Im(e^{i4x})=Im(cos(4x)+isin(4x))=sin(4x) $$

gemäß eulerscher Formel.

Zu tun ist also folgendes:

$$ sin(4x)=Im(e^{i4x})=Im((e^{ix})^{4})\\=Im((cos(x)+isin(x))^4)\\=Im(sin^4(x)+cos^4(x)-6sin^2(x)cos^2(x) +i[4sin(x)cos^3(x)-4sin^3(x)cos(x)])\\=4sin(x)cos^3(x)-4sin^3(x)cos(x)\\=4sin(x)cos(x)[cos^2(x)-sin^2(x)]\\=4sin(x)cos(x)[2cos^2(x)-sin^2(x)-cos^2(x)]\\=4sin(x)cos(x)[2cos^2(x)-1]\\=8cos^3(x)sin(x)-4cos(x)sin(x) $$

Answer 2

> wieso sin(4x) = Im (e^i*4*x) gilt

Eulersche Formel: e^iφ = cos φ + i sin φ