Trigonometrie: Wieso ist sin(70°) = cos(20°)?

Question

Ich brauche die Begründungen für:

1. Wieso ist sin(70°) = cos(20°)?

2. Wieso ist tan(50°) = sin(50°) : cos(50°)?

3. Wieso ist tan(45°)=1?

Answer 1

sin(70°) = cos(20°) bzw. allgemein sin(α) = cos(90°-α) wird ausführlich bei den Identitäten erklärt: https://www.matheretter.de/wiki/identitat-sinus-kosinus-2

Dort lernst unter anderem, dass der Ko-Sinus der Sinus des Komplementärwinkels ist. Was das heißt, wird dort erklärt. Daher auch sin(α) = cos(90°-α), man ermittelt (in Bezug auf ein Dreieck) die gleiche Seite.

Oder Deutung als Funktion: Verschiebt man den Graphen der Sinusfunktion um 90° nach links, entspricht er dem Kosinusgraphen!

~plot~ sin(x*pi/180);cos(x*pi/180);[[-400|400|-1,5|1,5]] ~plot~

Wenn du dich mit den Additionstheoremen auskennst, kannst du das folgende Additionstheorem nutzen und entsprechend ausrechnen:

cos(α - β) = cos(α)*cos(β) + sin(α)*sin(β)

// entsprechend einsetzen:

cos(90° - β) = cos(90°)*cos(β) + sin(90°)*sin(β)

// und ausrechnen:

cos(90° - β) = 0*cos(β) + 1*sin(β)
cos(90° - β) = 0 + sin(β)
cos(90° - β) = sin(β)

Du siehst also, sin(α) = cos(90°-α)