Allgemeine Lösung Differenzengleichung

Question

Folgende Aufgabenstellung:

Die Aufgabe ist grundsätzlich bestimmt nicht schwer, aber ich komischerweise finde ich im netz nichts passendes. wäre auch dankbar für einen link, der mit das thema näher bringt.

Answer 1

Siehe hier

https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Differenzengleichung

Comments

Hilft mir jetzt nicht sonderlich weiter, soll man jetzt einfach Yk auf eine Seite stellen?

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\( y_k = \lambda^k \) ergibt nach einsetzten in die homogene Gleichung \( \lambda^{k+1} + 2 \lambda^k = 0 \), also \( \lambda = -2 \). Damit ist \( y_k = A (-2)^k \) eine Lösung der homogenen Gleichung.

Der Ansatz \( y_k = c \) führt durch einsetzen auf \( c + 2c = 2 \) also \( c = \frac{2}{3} \)

Damit lautet die Allgemeine Lösung \( y_k = A (-2)^k + \frac{2}{3} \)

Ist übrigens identisch mit der anderen Lösung die hier angegeben ist. Man kann sich aber die Induktion ersparen und hat einen systematischen Ansatz zum Lösen solcher Gleichungen.

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Wieso verschwindet beim homogenen Ansatz die 2 auf der rechten Seite des Gleichungssystems? 

Auch beim Ansatz yk=c verstehe ich nicht ganz, wieso yk+1 ebenfalls gleich c wird.

Kannst du mir das vielleicht noch erklären? Wäre dir dafür sehr dankbar :)

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Die 2 ist ja gerade der inhomogene Anteil der Gleichung. Der wird eben bei der homogenen Lösung nicht berücksichtigt sondern erst später, wie bei den Dgl.

Wenn \( y_k = \text{Konstant} \) ist dann auch \( y_{k+1} \). Ist ja eben eine Konstante.

Answer 2

\(y_{k+1}=2-2y_k\) und \(y_0=\eta\) ist vorgelegt.

$$y_1=2-2y_0=2-2\eta$$ $$y_2=2-2y_1=2-2(2-2\eta)=2-2^2+2^2\eta$$ $$y_3=2-2y_2=2-2(2-2^2+2^2\eta)=2-2^2+2^3-2^3\eta$$ $$y_4=2-2y_3=2-2(2-2^2+2^3-2^3\eta)=2-2^2+2^3-2^4+2^4\eta$$ $$\ldots$$

Vermutung: $$y_k=\frac{2}{3}\left[1-(-2)^k\right]+(-2)^k\eta$$

Beweis: Durch vollstaendige Induktion.