Periodischen Dezimalbruch in Bruch umrechnen. Wie?

Question

Guten Morgen . 

ich muss folgende periodische Dezimalbrüche umschreiben in Brüche.

1.036 periode über 36

3.389432 periode über 389432

Könnte mich jemand da helfen und es Schritt für Schritt erklären.

Ich hab mir schon viele Videos angeguckt aber mein Hirn checkts einfach nicht.

LG

Comments

So, hier noch ein Nachtrag für Bastler:

Wir wollen in unserem Text

1.036 periode über 36

3.389432 periode über 389432

in "schön" schreiben. Wir markieren zunächst die Periode durch eine Unterstreichung, indem wir zum Beispiel den Underline-Schalter am oberen Feldrand auf die ausgewählte Periode anwenden. Ergebnis:

1.036

3.389432

Sodann ändern wir im Quelltext (Schalter "View source") den Wert "underline" des CSS-Attributs in den Wert "overline". Ergebnis:

1.036

3.389432

Fertig.

ps: Vielleicht gibt es eine Testenkombination, die dies bewirkt, ich weiß es nicht. Ein zusätzlicher Schalter am oberen Feldrand wäre auch denkbar.

Answer 1

Hallo elaisa,

Den Term \(1,0\overline{36}\) lässt sich zunächst wie eine Reihe von Brüchen schreiben

$$1,0\overline{36} = 1 + \frac{36}{10^3} + \frac{36}{10^5} + \frac{36}{10^7} + ...$$

von dem hinteren Part klammere ich nun \(36/10^3\) aus und erhalte

$$\space = 1 + \frac{36}{10^3}\left( 1 + \frac{1}{100} + \left( \frac{1}{100} \right)^2 + \left( \frac{1}{100} \right)^3 + \left( \frac{1}{100} \right)^4 + ...\right)$$

Der Ausdruck in Klammern ist eine geometrische Reihe der Form

$$\sum_{i=0}^{\infty} q^n = \frac{1}{1-q}$$

mit \(q=1/100\) und bekanntem Wert der Summe. Das wende ich nun oben an und erhalte

$$\space = 1 + \frac{36}{10^3} \cdot \sum_{i=0}^{\infty} \left( \frac{1}{100}\right)^i = 1 + \frac{36}{10^3} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{100}} = 1 + \frac{36}{10^3} \cdot \frac{100}{99} = \frac{57}{55}$$

Für die Periode \(3,\overline{389432}\) geht es genauso

$$3,\overline{389432} = 3 + \frac{389432}{10^{6}} \sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{1-10^{-6}} = 3 +\frac{389432}{999999} = \frac{3389429}{999999}$$

Comments

Lösung  geometrische Reihe - von Werner-Salomon, v. Dez. 2017 -

- habe die Hilfe/Anleitung mit meiner gesuchten Zahl mit periodischen Nachkommastellen probiert, aber nicht geschafft:    1118,725725725...  ->               1118 - 725/10³ * 1118/1118 -1118/100 =(kommt bei mir heraus ) 1202,525252... . Das ist aber kein ganzzahliger Bruch.

Kann/will mir jemand nochmal in Einzelschritten (umständlich) auf die Sprünge helfen ?   Ggf. großen Dank und Gruß !       geomane

---

1118,725725725...  ->              1118 - 725/10³ * 1118/1118 -1118/100 =(kommt bei mir heraus ) 1202,525252...

.. das verstehe ich nicht $$1118,\overline{725} = 1118 + \frac{725}{10^3} + \frac{725}{10^6} + \dots$$Gibt also:$$\begin{aligned}1118,\overline{725}  &= 1118 + \frac{725}{10^3}\left( 1 + \frac 1{10^3} + \left(\frac 1{10^3}\right)^2 + \dots \right) \\  &= 1118 + \frac{725}{10^3}\left( \frac1{1- \frac1{10^3}}\right) \\ &= 1118 + \frac{725}{10^3} \cdot \frac{10^3}{999} \\ &= 1118 + \frac{725}{999}\end{aligned}$$oder vielleicht ist das einfacher:$$\begin{aligned}1118,\overline{725} &= x \\ 1118725,\overline{725} &= 1000x \\ 1000x-x &= 1118725,\overline{725} - 1118,\overline{725} \\ 999 x &= 1117607 \\ \implies x &= \frac {1117607}{999} = 1118 + \frac{725}{999}\end{aligned}$$

---

Hallo Werner-Salomon;

super-schnell ..!

Etwas Wesentliches schnall ich nicht.  Ich brauche einen ganzzahligen Bruch zu  1118,725725725... oder  1,118725725725... .

Der Bruch "725/999" betrifft aber nur 725 (?).

Bzw. - wie muss ich das (addieren ?) behandeln ?

Dank - geomane

---

Hallo geomane,

Etwas Wesentliches schnall ich nicht.  Ich brauche einen ganzzahligen Bruch zu  1118,725725725... oder  1,118725725725..

.. hast Du doch. Es ist $$\begin{aligned} 1118,\overline{725} &= \frac {1117607}{999} \\ 1,118\overline{725} &= \frac {1117607}{999000} \end{aligned}$$oder eben$$1118 + 0,\overline{725} = 1118 + \frac{725}{999}$$was das selbe ist wie die erste Zeile, nur eben als Summe des ganzzahligen Teils und des Rest.

Bzw. - wie muss ich das (addieren ?) behandeln ?

Wie Du willst. Was willst Du erreichen?

Gruß Werner

---

1117607/999000 = 1,118725725725... - Jaa !    Hallo Werner;

meine diversen Mathe-Bildungslücken ... - deine geduldige Hilfe.

Habe den Pluspunkt ganz oben, bei "hallo elaisa", angeklickt.

Dank und Gruß !   geomane  (Franz)

Answer 2

Irgendwann im 5. oder 6. Schuljahr soll man sich mit Zusammenhängen wie diesem hier beschäftigen:

$$ (1)\quad 0.\overline{36} = \dfrac{36}{99} $$Dies lässt sich für die Umwandlung des ersten Dezimalbruchs – und sinngemäß auch für den zweiten – zum Beispiel so nutzen:

$$ (2) \quad 0.0\overline{36} = \dfrac{36}{990} = \dfrac{4}{110} = \dfrac{2}{55} $$Und schließlich:

$$ (3) \quad 1.0\overline{36} = 1+\dfrac{2}{55} = \dfrac{57}{55} $$Diese Rechnung lässt sich zu einer Formel oder einem Verfahren zur Umwandlung verallgemeinern und auch noch auf andere Stellenwertsysteme übertragen. Möglicherweise ist das der Sinn dieser Übung, vielleicht soll aber auch nur ein in der Vorlesung behandelter Weg am konkreten Beispiel angewendet werden. Das müsstest du mal anhand des Skriptes überprüfen; Videos sind dabei eher wenig nützlich.

Answer 3

x=3.389432 periode über 389432. Multiplizieren mit 1000000.

(1)1000000x = 3389432,389432......

(2)               X=             3.389432.....

(1)-(2) und dann nach x auflösen.

Answer 4

Hallo Elaisa,

x = 1,0\(\overline{36}\)

Multipliziere einmal so, dass die erste Periode direkt vor dem Komma endet und - wenn nötig - einmal so, dass die erste Periode direkt hinter dem Komma beginnt. Subtrahiere die beiden Gleichungen:

1000 x  =  1036,\(\overline{36}\)

    10 x  =      10,\(\overline{36}\)

------------------------------------------   Gleichungen subtrahieren

 990 x  =   1026            | : 990

        x  = 1026 / 990   =_Kürzen   57 / 55

--------------

x = 3,\(\overline{389432}\)

1000000 x  =  3389432,\(\overline{389432}\)

               x  =              3,\(\overline{389432}\)

----------------------------------------------------------    Gleichungen subtrahieren

 999999 x  =  3389429       | : 3389432

              x  =  3389429 / 999999

Gruß Wolfgang