Die Menge ℚ ist die Menge aller Brüche. Man nennt diese Zahlen auch rationale Zahlen.
Addition und Subtraktion von Brüchen ...
... bei gleichem Nenner: \(b \neq 0 \)
$$ \frac{a}{b}+\frac{c}{b} = \frac{a+c}{b} $$
$$ \frac{a}{b}-\frac{c}{b} = \frac{a-c}{b} $$
Beispiel mit Zahlen:
$$ a=4, b=7, c=2 $$
$$ \frac{4}{7}+\frac{2}{7} = \frac{4+2}{7} = \frac{6}{7} $$
... bei verschiedenen Nennern: \(b, d \neq 0 \)
$$ \frac{a}{b}+\frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot d}+\frac{c \cdot b}{d \cdot b} =\frac{a \cdot d + c\cdot b}{b \cdot d} $$
$$ \frac{a}{b}-\frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot d}-\frac{c \cdot b}{d \cdot b} = \frac{a \cdot d - c\cdot b}{b \cdot d}$$
Wichtig! Bevor die Brüche addiert werden müssen sie auf den gleichen Nenner gebracht werden. Im Beispiel sind die Nenner der Brüche b und d. Ein möglicher gleicher Nenner ist also b * d.
Wie erhält man nun bei beiden Brüchen einen gleichen Nenner? - Indem man die Brüche erweitert.
Der Bruch \( \frac{a}{b} \) muss mit d erweitert werden: \( \frac{a \cdot d}{b \cdot d} \).
Der Bruch \( \frac{c}{d} \) muss mit b erweitert werden: \( \frac{c \cdot b}{d \cdot b} \).
Nun kann man die beiden Brüche addieren indem man die Zähler addiert und den Nenner beibehält:
\( \frac{a \cdot d}{b \cdot d}+\frac{c \cdot b}{d \cdot b}=\frac{a \cdot d + c\cdot b}{b \cdot d} \)
Beispiel mit Zahlen:
$$ a=3, b=5, c=7, d=11 $$
$$ \frac{3}{5}+\frac{7}{11} = \frac{3 \cdot 11}{5 \cdot 11}+\frac{7 \cdot 5}{11 \cdot 5} =\frac{3 \cdot 11 + 7 \cdot 5}{5 \cdot 11} = \frac{ 68 }{ 55 } $$
$$ a=3, b=8, c=1, d=12 $$
$$ \frac{3}{8}+\frac{1}{12} = \frac{3 \cdot 12}{8 \cdot 12}+\frac{1 \cdot 8}{12 \cdot 8} =\frac{36 + 8}{96} = \frac{44}{96} $$
Das Ergebnis ist zwar schon recht übersichtlich, aber fertig ist man noch nicht. Der Bruch lässt sich nämlich noch Kürzen. Dazu zerlegt man Zähler und Nenner in ihre Primfaktoren. Zähler: 44 = 2*2*11. Nenner: 96 = 2*2*2*2*2*3.
\( \frac{44}{96} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 11}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3} \)
Es lassen sich also zwei 2er kürzen:
\( \frac{11}{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{11}{24} \)
Als Ergebnis sollten vollständig gekürzte Brüche angegeben werden.
Die Division durch 0 ist nicht definiert, d.h. nicht erlaubt.
Wenn Sie Fragen haben, etwas nicht verstehen --> Kommentar.
MfG JR
