Basis bestimmen für Vektorräume

Question

ich soll eine Basis für die folgenden komplexen VR bestimmen.

1. {(x, y, z) ∈ C^3
| x = z} ⊂ C^3

2.  [{x^2,  x^2 + 1, x^2 + x, x^2 + x + 1}] ⊂ C[x]

ich hab leider keine ahnung wie ich vorgehen soll.

vielen Dank

Answer 1

1. {(x, y, z) ∈ C3 | x = z} ⊂ C3 .

Die sehen also alle so aus 

 

(x, y, x) = x*(1 ; 0 ; 1 ) + y* ( 0 ; 1 ; 0 ) 

also bilden (1 ; 0 ; 1 ) und ( 0 ; 1 ; 0 ) ein Erzeugendensystem

und da sie lin. unabh. sind auch eine Basis.

[{x²,   x² + 1, x² + x, x² + x + 1}]

Der 4. lässt sich durch die anderen darstellen

x² + x + 1 = (x²+1) + (x²+x) - x² 

Die ersten drei sind aber lin. unabh., bilden also eine Basis.

Comments

okay, hätte ich bei 1. auch einfach die basisvektoren (1,0,0), (0,1,0) und (0,0,1) nehmen können? oder funktioniert das hier nicht weil x=z ist?

aber wie kommt man jetzt allg auf sowas? ich versuche normalerweise immer mit zeilenstufenform zu rechnen..

dankeschön.

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oder funktioniert das hier nicht weil x=z ist?

Genau so ist es !

Erst mal versuchen sich vorzustellen wie die aussehen.

Wenn du Zeilenstufenform nehmen willst, geht das

auch; denn das Gl.system ist ja nur eine

Gleichung           x=z 

also Matrix 

  1   0    1    

die hat Zeilenstufenform. Also rang=1 ; d.h.

z frei wählbar  und y auch und die Gleichung gibt x=z.

Also sehen die Lösungen so aus ( z ; y ; z ) .

Das Gleiche in grün.

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Ah jetzt wird es mir klar, vielen lieben Dank :)))