Geben Sie für folgende K-Vektorräume jeweils eine Basis an

Question

Aufgabe:

Geben Sie für folgende K-Vektorräume jeweils eine Basis an:
a) W₁ = {(x₁, . . . , x_n) ∈ ℝⁿ | 2x₁ + x₂ = 0} über K = ℝ.
b) W2 = {(x₁, x₂, x₃, x₄) ∈ ℝ⁴ | x₁ + 3x₂ + 2x₄ = 0 und 2x₁ + x₂ + 3x₃ = 0} über K = ℝ.
c) W3 = ⟨(i, i, 0),(0, 0, 1),(−1, −1, 0)⟩ ⊆ ℂ³ über K = ℂ.

wäre sehr lieb, wenn mir jemand helfen könnte^^

Answer 1

Hallo :-)

Ich mache es mal beim ersten vor. Ich schreibe mal explizit so einen Vektor \(v\in W_1\) hin und forme so um, dass man die Basis dadurch ablesen kann:

In \(W_1\) gilt die Bedingung \(2\cdot x_1+x_2=0\quad \Leftrightarrow \quad x_2=-2\cdot x_1\). Also ist

$$ v=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\\vdots\\x_{n-1}\\x_n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\-2\cdot x_1\\x_3\\\vdots\\x_{n-1}\\x_n \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\-2\cdot x_1\\0\\\vdots\\0\\0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\0\\x_3\\\vdots\\x_{n-1}\\x_n \end{pmatrix}\\[30pt]=x_1\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\0\\\vdots\\0\\0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\0\\x_3\\\vdots\\x_{n-1}\\x_n \end{pmatrix}\\[30pt]=x_1\cdot \underbrace{\begin{pmatrix}1\\-2\\0\\\vdots\\0\\0 \end{pmatrix}}_{=e_1-2\cdot e_2}+x_3\cdot \underbrace{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\\vdots\\0\\0 \end{pmatrix}}_{=e_3}+...+x_{n-1}\cdot \underbrace{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\\vdots\\1\\0 \end{pmatrix}}_{=e_{n-1}}+x_n\cdot \underbrace{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\\vdots\\0\\1 \end{pmatrix}}_{=e_n}\\[30pt]=x_1\cdot (e_1-2\cdot e_2)+\sum\limits_{k=3}^n x_k\cdot e_k$$.

Also hat man \(\mathcal{B}:=(e_1-2\cdot e_2,e_3,...,e_{n-1},e_n)\) als eine Basis für \(W_1\).

Comments

danke^^ das war sehr hilfreich