Wie kann man z5 = z2 mit komplexen Lösungen lösen?

Question

Aufgabe:

z⁵ = z²

Problem/Ansatz:

Wie soll man da rangehen? Für die klassische Formel für Wurzeln von komplexen Zahlen bräuchte man ja eigentlich einen Realteil und einen Imaginärteil, hier hat man nur auf beiden Seiten z. Darf man einfach durch z² teilen für z³ = 1 oder geht das nicht? Weil dann hat man ja auch nur 3 Lösungen anstatt 5

Answer 1

z⁵ = z²

z⁵ - z²=0

z²(z³-1)=0

z²=0

z=0

z³-1=0

z³=1

z=1

(z³-1):(z-1)=z²+z+1

-(z³-z²)

------------------

     z²-1

   -(z²-z)

-------------------

          z-1

        -(z-1)

----------------------
               0

z²+z+1=0

z²+z=-1

(z+0,5)^2=-1+0,25=-0,75=3/4 i^2|$\sqrt{}$

1.) z+0,5=0,5i$\sqrt{3}$

z_1=...

2.) z+0,5=-0,5i$\sqrt{3}$

z_2=...