Punktmenge in der komplexen Ebene |z-2i| <= |z-1|

Question

Aufgabe:

Skizzieren Sie die folgende Punktmenge in der komplexen Ebene: 
M = {z∈ℂ: |z-2i| ≤ |z-1|}

Problem/Ansatz:

Ich kriege es nicht auf eine Form, in der ich was damit anfangen kann.

Habe es erstmal auf beiden Seiten quadriert und komme dann auf das Ergebnis:
(1+2i)*z+(1-2i)*Conj(z)+3≤0

Doch auch hiermit weiß ich nichts anzufangen.

Comments

Wir hatten den Typ Aufgabe schon einmal. Ich glaube, dass Maxi meine Antwort damals gar nicht verstanden hat. Nun ja - er hat sich nicht mehr gemeldet.

Answer 1

Hallo paradise,

Setze für \(z=a + bi\) und rechne es aus$$\begin{aligned} |z-2i| &\le |z-1| \\ \to z &= a + bi \\ \\ |a + bi - 2i| &\le |a + bi - 1| \\ a^2 + (b-2)^2 &\le (a-1)^2 + b^2 \\ a^2 + b^2 - 4b + 4 &\le a^2 - 2a + 1 + b^2 \\ - 4b  &\le  - 2a - 3 \\ b & \ge \frac 12 a + \frac 34 \end{aligned}$$Das ist eine sogenannte Halbebene. Die Gerade \(y = (2x+3)/4\) teilt die Ebene der komplexen Zahlen. Alles, was sich unterhalb dieser Geraden befindet, gehört nicht zur Lösungsmenge dazu.

Schaue Dir dazu folgendes an

https://jsfiddle.net/WernerSalomon/qsuwkL5y/2/

Verschiebe hier den roten Punkt \(Z\) mit der Maus. Immer wenn der blaue Kreis größer oder gleich dem roten Kreis ist, ist die Bedingung \(|z-1| \ge |z-2i|\) erfüllt. Und dies ist der Fall, wenn sich \(Z\) oberhalb oder auf der grünen Geraden \(y=(2x+3)/4\) befindet.

Nachtrag:

ich habe noch ein Schmankerl eingebaut. Man kann auch die Punkte \(2i\) und \(1\) verschieben. Die grüne Gerade verändert sich so, dass sie immer die Grenze bildet, bei der sich \(Z\) oberhalb befinden muss, damit die Gleichung erfüllt ist. Probiert's aus ;-)

Gruß Werner

Comments

Oops... du warst schneller ;)

Ich bin für einen Hinweis: "Diese Frage wird gerade beantwortet." Damit dieselbe Lösungsidee nicht doppelt gepostet wird.

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Guter Vorschlag! Das Thema ist aber schon durch - siehe hier.

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Vielen Dank Werner!

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Freut mich, wenn ich Dir helfen konnte. Ich habe oben noch was eingebaut - siehe Nachtrag!

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Wow, danke! Ich wusste nicht, dass die Seite hier sowas kann.

Answer 2

Aloha :)

Setze \(z=x+iy\), dann lautet die Ungleichung:$$|x+iy-2i|\le|x+iy-1|$$$$|x+i(y-2)|\le|(x-1)+iy|$$$$x^2+(y-2)^2\le(x-1)^2+y^2$$$$x^2+y^2-4y+4\le x^2-2x+1+y^2$$$$-4y+4\le -2x+1$$$$-4y\le -2x-3$$$$y\ge\frac{x}{2}+\frac{3}{4}$$Damit erfüllen alle Punkte oberhalb der Geraden die Forderung:

~plot~ x/2+3/4 ; [[-5|5|-2|3]] ~plot~

Comments

Vielen Dank!

Ich hätte dennoch eine Frage. Die Abzissenachse bleibt dennoch die reelle und die Ordinatenachse die imaginäre, oder nicht? Weil in der Gleichung fällt das i ja komplett raus.

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Die Abzissenachse bleibt demnach die reelle und die Ordinatenachse die imaginäre .. ?

Ja - so ist es

Weil in der Gleichung fällt das i ja komplett raus.

In der anschließenden Gleichung wird nur der Betrag von \(z\) betrachtet. Mit \(z=x + yi\) ist \(|z| = \sqrt{x^2 + y^2}\) (nach Pythagoras). Die Wurzel lässt man dann im folgenden weg, da ein Betrag immer größer ist als ein anderer, wenn sein Quadrat größer ist als der Betrag des anderen. Man rechnet dann einfach$$|z|^2 = x^2 + y^2$$

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Vielen Dank nochmal!

Answer 3

Skizzieren Sie die Menge M = {z∈ℂ: |z-2i| ≤ |z-1|} in der komplexen Ebene.

Betrachten wir es mal so: Die Punktmenge $$ S = \left\{ z \in \mathbb{C}: \left|z-2i\right| = \left|z-1\right|\right\} $$ ist genau die Mittelsenkrechte zwischen den beiden Punkten \(\left(0\,\vert\, 2 \right)\) und \(\left(1\,\vert\, 0 \right)\) in der komplexen Ebene. Um diese Gerade zu skizzieren, genügt ein Blatt Papier und ein Bleistift.

Die Menge $$ M = \left\{ z \in \mathbb{C}: \left|z-2i\right| \le \left|z-1\right|\right\} $$ besteht nun aus genau den Punkten, die auf der Geraden \(S\) oder auf derselben durch \(S\) begrenzten Halbebene liegen wie der Punkt \(\left(0\,\vert\, 2 \right)\). Um \(M\) anschaulich und unmissverständlich zu skizzieren, könnte man zu einem Buntstift greifen.

Mir ist völlig schleierhaft, was dabei gerechnet werden muss.