0 Daumen
2,5k Aufrufe

Aufgabe:

Siehe Titel + geben Sie diese jeweils in der Form z = a+bi  mit a, b aus R an.


Problem/Ansatz:

\( z^{2}=-2 i \)
\( (a+b i)^{2}=-2 i \)
\( a^{2}+a b i+b i a+b i^{2}=-2 i \)
\( a^{2}+a b i+b i a+b i^{2}-2 i=0 \)
\( \rightarrow \) Realteil: \( a^{2}=0 \Rightarrow\boxed{a=0} \)

\( \rightarrow \) Imaginärteil: \( a b i+b i a+b i^{2}-2 i=0 \)
\( a=0 \Rightarrow b i^{2}-2 i=0 \)

\(-b-2i=0\)

\(\boxed{b=-2i}\)


$$ z=-2 i ? ? $$

Avatar von

3 Antworten

0 Daumen

Hallo,

z^2= -2i ;z=a+bi

(a+bi)^2= -2i

a^2 +2abi  -b^2= -2i

Realteil:       a^2-b^2= 0

Imaginärteil:  2ab= -2

Lösung:

z1= -1 +i

z2= 1-i

Avatar von 121 k 🚀

Vielen Dank schon mal!

Zum einen mal die Frage, warum bei deinem Realteil das "-b2" dazu kommt, müsste das nicht zum Imaginärteil? Falls nein, dann warum ist das so?

Zum anderen versteh ich den schritt von den beiden Teilen zur Lösung nicht. Wie kommst du auf z1 = -1+i bzw. z2 = 1-i ?


LG!

Guck dir das einmal genauer an: 2ab= -2, wie muss ich a und b wählen, damit am Ende -2 heraus kommt...


Hinweis:

2(-1)(1) = -2

2(1)(-1) = -2

Hallo,

b i* b i = i^2 *b^2

i^2 ist immer -1

----->

-b^2 gehört zum Realteil

-------------------------------------

1) 2ab = -2 |:2

ab= -1

a= (-1)/b ; b ≠ 0

einsetzen in

2)a^2-b^2=0 |+b^2

a^2=b^2

1/b^2 =b^2 | *b^2

1 =b^4

b1= -1

b2= 1

b3= -i

b4= i

b3 und b4  entfallen

b1 und b2 eingesetzt  in

ab= -1

a1= 1

a2= -1

dann mit dem angegebenen Ergebnis

0 Daumen

Naja (-2i)^2 = -4 ≠ -2i.


Via Polarkoordinaten:

-2i hat einen Winkel von -90° = 270° = 3π/2.

\(z^2 = -2i \\ \Longrightarrow z = \sqrt{|-2i|} \cdot \exp\left(i\cdot \left(\dfrac{3\pi}{2} \, + 2k \pi\right)\right)^{1/2} = \sqrt{2}\cdot \exp\left(i\cdot \left(\dfrac{3\pi}{2} \, + 2k \pi\right)\right)^{1/2}\)

mit \(k\in \{0,1\}\).

\(k=0\!: \sqrt{2}\cdot \exp\left(i\cdot \left(\dfrac{3\pi}{2}\right)\right)^{1/2} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{-i}=1-i\)
\(k=1\) analog.

Avatar von 13 k
0 Daumen

Dein Vorgehen ist im Prinzip richtig, aber Du hast nicht richtig zusammengefasst:

\( +bi^2 = -b \),

und damit ist das reell und nicht komplex.

Avatar von

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community