Geben Sie alle Basen des Vektorraums K^{2} an.

Question

Aufgabe:

Sei \( K \) der Körper mit zwei Elementen aus Beispiel 1.4.5.

a) Geben Sie alle Basen des Vektorraums \( K^{2} \) an.

b) Wieviele Basen \( \left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) \) von \( K^{3} \) mit \( v_{1}=e_{1} \) und \( v_{2}=e_{2} \) gibt es, wobei \( e_{1}=(1,0,0)^{\top} \) und \( e_{2}=(0,1,0)^{\top} \) ist? Wieviele Basen \( \left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) \) von \( K^{3} \) mit \( v_{1}=e_{1} \) gibt es?

Beispiel 5. Körper sind

(i) \( \mathbb{Q} \) mit der üblichen Addition und Multiplikation,

(ii) \( K=\{0,1\} \) mit der Addition gemäß Beispiel 1 und der Multiplikation

	0	1
0	0	0
1	0	1

Hier gilt \( 1+1=0 \).

Im folgenden sei \( K \) ein Körper.

Answer 1

Es ist dim V = 2 .
Also brauchst du nur 2 lin. unabh. Vektoren.
Da (0;0) in einer Basis nicht vorkommen kann, gibt es
nur die Möglichkeiten
{ (0;1) ; (1;0) }
und jeder dieser beiden zusammen mit (1;1) ;
denn lin. unabh. sind die allemal.
Also drei verschiedene Basen.

b) Damit Vektoren mit einer 1 als 3. Komponente erzeugt werden können,
muss der 3. Basisvektor jedenfalls eine 1 in der 3. Komp. haben.
Da die ersten beiden dort eine Null haben, sind alle Vektoren mit einer
1 als 3. Komp. geeignet, also
(0;0;1), (1;0;1), (0;1;1), (1;1;1)
also 4 Möglichkeiten.