Unterräume und Basis

Question

Aufgabe:

Seien \( U, W \) die folgenden Unterräume von \( \mathbb{Q}^{3} \) :

\( U=\operatorname{lin}\left\{\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 2 \\ 3 \\ 3 \end{array}\right)\right\} \text { und } W=\operatorname{lin}\left\{\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)\right\} \)

1. Geben Sie jeweils eine Basis von \( U, W, U+W \) und \( U \cap W \) an.

2. Gilt es \( \mathbb{Q}^{3}=U \oplus W \) ? Begründen Sie Ihre Antwort.

3. Ist \( U \backslash W \) ein Unterraum von \( \mathbb{Q}^{3} \) ? Begründen Sie Ihre Antwort.

Problem/Ansatz:

Wie löse ich diese Aufgaben?

Answer 1

Die drei Erzeugenden von U sind linear abhängig; denn

\(3\cdot\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)+2\cdot\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 3 \\ 3 \end{array}\right)\)

Aber die ersten beiden sind lin. unabh., bilden also eine Basis für U.

Bei W die beiden Gegebenen.

Für U+W nimm die Basen U und von W zusammen zu einem

Erzeugendensystem. Dann kannst du \(  \left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) \)

weglassen und hast eine Basis für U+W.

Und für \( U \cap W \) wähle den Ansatz:

\(a\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)+b\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)=c\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)+d\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) \)