Geben Sie eine Basis von ker(f) und Im(f) an.

Question

Sei f : R³→ R⁴ definiert durch

f(x,y,z) = (-z+y

                y+z

                -z

                 y)

1. Geben Sie die Matrix A = Mat _B,B′ (f) an, wobei B und B′ die kanonische Basen von R³ bzgl. R⁴ sind.

2. Geben Sie eine Basis von ker(f) und Im(f) an.

3. Geben Sie die Matrix Mat _{B′^∨,B^∨(}f^∨) von f^∨ in den dualen Basen B′^∨ und B^∨ an.

4. Geben Sie eine Basis von ker(f^∨) und Im(f^∨) an.

 

Comments

f(x,y,z) =  (                  y     -    z
                                     y+          z

                                                    -z
                                      y                   )

1. Hier ist mal die nötige Abbildungsmatrix A.

2. Die beiden Basen:

Basis\quad für\quad ker(f):\quad (\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right) )\\ Basis\quad für\quad im(f):\quad (\left( \begin{matrix} \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \end{matrix} \right) ,\left( \begin{matrix} \begin{matrix} -1 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} -1 \\ 0 \end{matrix} \end{matrix} \right) )

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könntest du erläutern wie du auf die abbildungsmatrix kommst? und was die leere spalte zu bedeuten hat.

2. ist für mich unverständlich

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@ Anonym.

1. geht genau wie ins https://www.mathelounge.de/9269/sei-kanonische-basis-geben-matrix-mat-idr3-und-die-matrix-matb

Dort habe ich einen Schritt mehr gemacht.

Es handelt sich hier um eine 4 * 3 Matrix. 4 Zeilen 3 Spalten. Du musst den Abstand nicht abschreiben.

2. In der Spalten der Abbildungsmatrix stehen immer die Bildvektoren der Basisvektoren.

Du siehst da 2 linear unabhängige Vektoren. Die bilden eine Basis des Bildraumes von f. Der ist folglich 2-dim. in R^4.

Weiter kannst du ablesen, dass der erste Basisvektor von R^3 auf den Nullvektor abgebildet wird. Er ist deshalb im Kern von f und spannt diesen Kern auf. Also kann ich ihn als Basis nehmen.

Answer 1

3)

Bei dieser Abbildung Mat _{B′^∨,B^∨(}f^∨) handelt es sich einfach um die transponierte Matrix von A , also A^T . Ist ein Satz aus der Vorlesung, also muss man die Matrix nur transponieren.

A^T =

 

4)
Dort habe ich dann Ker(f) = 0 , da f(e1),f(e2),f(e3)f(e4)  ≠
,


 

 

Bitte auch um Rückmeldung ob dies , insbesondere die 4, richtig ist

Comments

3) ist nicht richtig, da A die Basen B und B' hat (A=Mat_B,B'(f)), und du die Matrix Mat_B'^v,B^v(f^v) angeben sollst. Ansonsten wäre die 3) richtig, also musst du hier nur erst Mat_B',B(f) bilden und dann transponieren.

4) kann daher nicht richtig sein, ich hab die selbst auch noch nicht gemacht, kann also im Moment noch nichts dazu sagen.

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Im Skript steht aber auch A = Mat_B,B'(f) und A^T = Mat_B'^v,B^v(f^v) Also müsste das schon richtig sein.

Das sich die Basen vertauschen, passiert doch glaub ich schon automatisch durch das transponieren.

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Hm, meinst du Satz 8.9.2 (Seite 75 im Skript)? Da steht "Sei A=Mat_B,B'(f) [...], dann gilt A^T=Mat_B^v,B'^v(f^v)"

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ja den mein ich eigentlihc..im handgeschriebenen steht es anders :!

Aber macht es nicht wie ich es gemacht hab mehr sinn?

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ja schon, wahrscheinlich hat der im Skript wieder nen Fehler gemacht.... Hab mich auch selbst nach meinem Kommentar gefragt, wie man f von nem Vektor aus IR⁴ bilden soll^^. Das handgeschriebene ist dann wahrscheinlich richtig, also ist deine Lösung hier auch richtig, ich hab mich da aufs Skript verlassen, kam aber schön öfters vor, dass da Fehler drin waren (von der Rechtschreibung mal abgesehen).

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Ich seh gerade, in meinen Unterlagen steht es so wie im Skript, das ist also kein Fehler^^

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Ich habe da B'^v B^v also so Mat_B'^v,B^v(f^v) und in der Uebungsleiter hat auch so geschrieben. Jetzt weiss ich nicht mehr...

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Einfach nur die transponierte Matrix von A aufzuschreiben für 10 Punkte scheint irgendwie zu einfach zu sein... Aber sonst weiß ich nicht, wie ich das machen soll...

Answer 2

 

f(x,y,z) =  (                  y     -    z 
                                     y+          z

                                                    -z 
                                      y                   )

1. Die nötige Abbildungsmatrix A habe ich bereits im Kommentar angegeben.

Darauf kommt man genau wie ins https://www.mathelounge.de/9269/sei-kanonische-basis-geben-matrix-mat-idr3-und-die-matrix-matb
Dort habe ich einen Schritt mehr gemacht.
Es handelt sich hier um eine 4 * 3 Matrix. 4 Zeilen 3 Spalten. Man muss den Abstand nicht abschreiben.

2. Zu den beiden Basen, die ich im Kommentar hingeschrieben habe:

Man weiss: " In der Spalten der Abbildungsmatrix stehen immer die Bildvektoren der Basisvektoren".

In A sind 2 linear unabhängige Spaltenvektoren vorhanden. Sie bilden eine Basis des Bildraumes von f. Der ist folglich 2-dim. in R^4.

Weiter kann man ablesen, dass der erste Basisvektor von R^3 auf den Nullvektor abgebildet wird. Er ist deshalb im Kern von f und spannt diesen Kern auf. Also kann ich ihn als Basis nehmen.

Basis\quad für\quad ker(f):\quad (\left( \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} \right) )\\ Basis\quad für\quad im(f):\quad (\left( \begin{matrix} \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix} \end{matrix} \right) ,\left( \begin{matrix} \begin{matrix} -1 \\ 1 \end{matrix} \\ \begin{matrix} -1 \\ 0 \end{matrix} \end{matrix} \right) )

3. und 4. sind noch offen

 

Comments

Könnte sich jemand den beiden offenen Aufgaben noch annehmen?