es kommen ein paar Fragen, aber ich hoffe, dass sich jemand die Mühe macht und mir weiterhilft...
Gibt es einen Unterschied zwischen dem Skalarprodukt und dem Produkt zwischen einem Zeilenvektor (/einer einzeilige Matrix) und einem Spaltenvektor (/einer einspaltigen Matrix)?
Laut den Regeln der Matrizenmultiplikation kann ich doch zwei Matrizen nur multiplizieren, wenn die zweite Matrix die gleiche Anzahl an Zeilen hat, wie die erste Spalten.
Das bedeutet doch im Prinzip, dass das Skalarprodukt mit zwei Zeilenvektoren (wie man es in der Schule lernt) eigentlich nicht erlaubt ist?
Das Skalarprodukt müsste in Matrizenschreibweise doch als das Produkt einer einzeiligen und einer einspaltigen Matrix definiert sein, wodurch die Unterscheidung wieder hinfällig wäre?
Normalerweise gilt doch
$$\vec a \cdot \vec b $$
Skalarprodukt -> Zeilenvektor mal Spaltenvektor (Ergebnis: Skalar)
$$\vec a \otimes \vec b$$
Dyadisches Produkt -> Spaltenvektor mal Zeilenvektor (Ergebnis: Dyade)
?
Habe die Unterscheidung in einer Vorlesung aufgegriffen (ungefähr ab 1m18):
Hier wird immer betont, dass der Basisvektor der dualen Basis auf den der "normalen" Basis angewendet wird (der Zeilenvektor wird auf den Spaltenvektor angewendet), was meinem Verständnis nach aber trotzdem das Skalarprodukt ist.
Außerdem stellt sich mir die Frage: Der duale Vektorraum ist doch auch ein eigenständiger Vektorraum? Er bildet zwar den normalen Vektorraum auf den reellen Zahlenbereich ab (eben durch erwähntes Produkt), aber an sich ist doch jeder Dualbasisvektor senkrecht auf den jeweils anderen Basisvektoren der "normalen" Basis.
