Basis finden Körper K^n Untervektorraum

Question

ich bin im ersten Semester und habe ein Problem mit einer Übungsaufgabe.

Und zwar sagt diese:

Finden Sie eine Basis der folgenden Untervektorräume. Die Menge der Vektoren gegeben durch {xeK^n∑ i=1,und n xi=0}

für einen Körper K und ein neN.

Ich stehe ein bisschen auf dem Schlauch.

Mir ist klar, dass eine Basis linear unabhängig sein muss.

Meine Idee hierbei wäre, dass theoretisch alle Vektoren eine Basis sind, weil ja alle Vektoren durch das Summenzeichen angegeben werden, das heißt ein Vielfaches sind. Dann müsste ja auch die Linearkombination zutreffen.

Kann aber auch sein, dass ich total falsch liege. würde mich über jede hilfe freuen.

Comments

Hallo sj1997, könntest du {xeK^n∑ i=1,und n xi=0} mal irgendwie leserlicher, eindeutiger aufschreiben, ich kann damit nicht allzu viel anfangen. Steht die Summe tatsächlich im Exponenten, etc`?

Answer 1

Die Menge der Vektoren gegeben durch {xeKⁿ  | ( ∑ von i=1 bis n  über  x_i   ) =0}

für einen Körper K und ein neN..

Das heißt einfach nur:  Alle Vektoren aus Kⁿ , also mit n Komponenten

aus dem Körper K, bei denen die Summe aller Komponenten gleich 0.

Also könntest du auch sagen:

Die Lösungsmenge der Gleichung x₁+x₂+x₃+....+x_n = 0.

Jede Lösung dieser Gleichung kannst du durch die Vektoren

v₁ = (-1,0,0,...,1)  ,  v₂ = (0,-1,0,...,1) , ..., v_n-1 = (0,0,0,...,-1,1)

darstellen. Denn wenn  x₁+x₂+x₃+....+x_n = 0  gilt, dann auch

                               -x₁-x₂-x₃-....-x_n-1 =    x_n    

Und damit ist  -x₁*v₁ -x₂*v₂ -....-x_n-1*v_n-1 =  (x₁,x₂,...,x_n-1,    -x₁-x₂-x₃-....-x_n-1)

           = .(x₁,x₂,...,x_n-1,x_n) .   Also bilden sie ein Erzeugendensystem

für die Menge der gegebenen Vektoren.

Außerdem sind sie lin. unabh., denn der Ansatz

          x₁*v₁ +x₂*v₂ +....+x_n-1*v_n-1 = 0-Vektor

führt auf die Gleichungen

-1*x₁ = 0 und -1*x₂=0  und in der letzten Komponente

zu    x₁+x₂+x₃+....+x_n-1 = 0  also ( siehe oben) zu

                       -x_n = 0 , also auch x_n = 0.