Zeigen Sie, dass k^n genau (q^n-1) (q^n-q) (q^n -q^(n-1)) verschiedene Basen besitzt.

Question

Aufgabe:

Sei k ein endlicher Körper mit q Elementen, n eine natürliche Zahl. Zeigen Sie, dass k^n genau (q^n-1) (q^n-q) … (q^n -q^(n-1)) verschiedene Basen besitzt.  Dabei werden Basen als geordnete Tupel gezählt, also zählen (b1,b2) und (b2,b1) als verschiedene Basen.

Comments

Erster Vektor darf nicht der Nullvektor sein. k^n hat insgesamt q^n Vektoren. Also bleiben für den ersten: q^n - 1 Möglichkeiten

Zweiter Vektor darf nicht linear abhängig zum ersten sein, d.h. nicht in seinem Span liegen. Der erste Vektor erzeugt einen UVR der dim 1, hat also q^1 Elemente. Für den zweiten bleiben somit: q^n - q^1 Möglichkeiten

Der dritte darf nicht linear abhängig zu den ersten beiden sein, d.h. nicht in deren Span liegen. Diese spannen einen UVR der dim 2 auf, der hat q^2 Elemente. Für den dritten Vektor bleiben also q^n - q^2 Möglichkeiten

usw. usw.