Wieviele verschiedene geordnete Basen besitzt der Vektorraum F_{p}^2?

Question

Sei \( p \in \mathbb{N} \) eine Primzahl. Wie viele verschiedene geordnete Basen besitzt der Vektorraum \( \mathbb{F}_{p}^{2} \) ?

Ansatz:

Also der \( \mathbb{F}_{p} \) hat ja p Elemente: 1, 2, ..., p-1  Dann hat ja der \( \mathbb{F}_{p}^{2} \, \, \, p^2 \) Elemente und Dimension 2, also bilden 2 lin. unbh. Elemente eine Basis.

Ich habe mir das zunächst mal am Beispiel p = 3 klargemacht.

Es ist ja \( \mathbb{F}_{3}^{2} = \lbrace{ \begin{pmatrix} 0\\0  \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\1  \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\2  \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1\\0  \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1\\1  \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1\\2  \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2\\0  \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2\\1  \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2\\2  \end{pmatrix}\rbrace} \)

Ich komme hier auf 50 verschiedene geordnete Basen, wenn ich mich nicht verzählt habe und das mit den geordneten Basen richtig verstanden habe. Ich kann ja zb.\( \begin{pmatrix} 0\\1  \end{pmatrix}\) mit allen anderen Vektoren außer \( \begin{pmatrix} 0\\0  \end{pmatrix} \text{und} \begin{pmatrix} 0\\2  \end{pmatrix} \) zu einer Basis machen.

Ich komme damit aber nicht auf eine allgemeine Form um die Anzahl zu bestimmen.

Answer 1

Für dein Beispiel sind es nur 48 geordnete Basen. Es gibt 3² = 9 Vektoren, nur der Nullvektor kann kein Basisvektor sein. Zu jedem der 8 Vektoren sind drei der 9 Vektoren linear abhängig, nämlich genau die Vielfachen. Bleiben 6 = 3² - 3 Vektoren, die mit dem ersten gewählten Vektor eine Basis bilden. Als geordnete Basen (also mit Berücksichtigung der Reihenfolge) sind diese alle verschieden, es sind also (3² - 1) * (3² - 3) = 48. Das kannst du bestimmt auf ein beliebiges p statt 3 verallgemeinern.

Comments

Für dein Beispiel sind es nur 48 geordnete Basen

Stimmt. Ich hatte angenommen, dass \( \begin{pmatrix} 1 \\2 \end{pmatrix} \) und \( \begin{pmatrix} 2 \\1 \end{pmatrix} \) linear unabhängig sind, aber es ist ja

\( 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\2\end{pmatrix}  = \begin{pmatrix} 2 \\4 \end{pmatrix}  =  \begin{pmatrix} 2 \\1 \end{pmatrix} \) im Z/3Z.

Reicht als Beweis deine Ausführung jeweils mit p auszudrücken, also

Es gibt p² Vektoren, nur der Nullvektor kann kein Basisvektor sein. Zu jedem der p^{2} - 1 Vektoren sind p der p^2 Vektoren linear abhängig, nämlich genau die Vielfachen. Bleiben p² - p Vektoren, die mit dem ersten gewählten Vektor eine Basis bilden. Als geordnete Basen (also mit Berücksichtigung der Reihenfolge) sind diese alle verschieden, es sind also (p² - 1) * (p² - p) 

Oder sollte man das anders beweisen? vielleicht mit Induktion?

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Eine Induktion würde höchstens bei einer Verallgemeinerung auf Dimension n Sinn machen. Wenn die obigen Ausführungen für dich selbst überzeugend sind, reicht das. Natürlich wäre es schön, wenn du es mit deinen eigenen Worten formulierst. Frag dich an jeder Stelle, ob du es jemand anderem näher erläutern könntest. Wenn die Antwort ja ist, bist du auch in der Lage, das umzuformulieren.