Aloha :)
1) Vereinfachung der DGL:$$x''(t)-4x(t)=4te^{2t}-4t$$Erstmal wollen wir den Term \(-4t\) loswerden, dazu addieren wir auf beiden Seiten \(4t\)$$x''(t)-4x(t)+4t=4te^{2t}$$$$x''(t)-4\left(\,x(t)-t\,\right)=4te^{2t}$$Definiere \(y(t):=x(t)-t\), dann ist \(y''(t)=x''(t)\) und die DGL lautet:$$y''(t)-4y(t)=4te^{2t}\quad;\quad \underline{y(t)=x(t)-t}$$
2) Spezielle Lösung:
Wir suchen zuerst eine spezielle Lösung \(y_s(t)\). Dazu empfiehlt sich ein Exponentialansatz, damit wir später die e-Funktion rauskürzen können:$$y_s(t)=f(t)e^{2t}$$$$y'_s(t)=f'(t)e^{2t}+2f(t)e^{2t}$$$$y''_s(t)=f''(t)e^{2t}+2f'(t)e^{2t}+2f'(t)e^{2t}+4f(t)e^{2t}$$$$\phantom{y''_s(t)}=f''(t)e^{2t}+4f'(t)e^{2t}+4f(t)e^{2t}$$Wir setzen das in die DGL ein:$$4te^{2t}\stackrel{!}{=}y''_s(t)-4y(t)=f''(t)e^{2t}+4f'(t)e^{2t}+4f(t)e^{2t}-4f(t)e^{2t}$$$$4te^{2t}=f''(t)e^{2t}+4f'(t)e^{2t}$$$$4t=f''(t)+4f'(t)$$Wir wollen eine möglichst einfache Lösung, also wählen wir:$$f''(t)=a\quad\text{bzw.}\quad f'(t)=at+b\quad;\quad a,b=\text{const}$$und setzen ein:$$4t=a+4(at+b)=4at+(a+4b)$$Koeffizientenvergleich liefert \(a=1\) und \(a+4b=0\) bzw. \(b=-\frac{1}{4}\). Damit ist:$$f'(t)=t-\frac{1}{4}\quad\text{bzw.}\quad f(t)=\frac{t^2}{2}-\frac{t}{4}+c\quad;\quad c=\text{const}$$Da wir nur irgendeine spezielle Lösung brauchen, können wir \(c=0\) setzen:$$\underline{y_s=\left(\frac{t^2}{2}-\frac{t}{4}\right)\,e^{2t}}$$
3) Homogene Lösung:
Die Lösung der homogenen DGL$$y_0''(t)-4y_0(t)=0$$funktioniert wie üblich über Exponentialansatz:$$y_0(t)=a\,e^{\lambda t}\quad;\quad y_0'(t)=a\lambda\,e^{\lambda t}\quad;\quad y_0''(t)=a\lambda^2\,e^{\lambda t}$$Einsetzen führt auf eine quadratische Gleichung für \(\lambda\):$$a\lambda^2\,e^{\lambda t}-4a\lambda\,e^{\lambda t}=0$$$$\lambda^2-4\lambda=0$$$$\lambda=\pm2$$Es gibt also 2 mögliche Lösungen, die miteinander linear kombiniert werden können:$$\underline{y_0(t)=ae^{2t}+be^{-2t}}$$
4) Lösung zusammenbauen:
Die allgemeine Lösung ist die Summe aus homogener und spezieller Lösung:$$y(t)=y_0(t)+y_s(t)=ae^{2t}+be^{-2t}+\left(\frac{t^2}{2}-\frac{t}{4}\right)\,e^{2t}$$Oben hatten wir zur Einfachung \(y(t)=x(t)-t\) vereinbart, daher ist die endgültige Lösung:$$\boxed{x(t)=ae^{2t}+be^{-2t}+\left(\frac{t^2}{2}-\frac{t}{4}\right)\,e^{2t}+t}\quad;\quad a,b=\text{const}$$
