Musterexemplare für neuartige Sitzmöbel

Question

ZU Qualitätsprüfungszwecken sollen verschiedene Sitz_würfel aus einem neuen Schaumstoff gespritzt werden. Für die umfangreichen Tests werden vollständig aus Schaumstoff bestehende Würfel mit Seitenlängen von 80cm, 81 cm, 82cm,, ... bis 100cm gefertigt. Der neue Schaumstoff kostet derzeit 200 E/m^{3}. Zeigen Sie mithilfe der vollständigen Induktion, dasss sich die Gesamtkosten des Schaumstoffs für die Musterexemplare über folgenden Zusammenhang bestimmen lassen:

∑(k=1, n) k^{3} = (n^{2}(n+1)^{2}))/4

Comments

soll das eine ganz Normale vollständige Induktion werden?

Answer 1

Zu zeigen:

Σ (k = 1 bis n) (k^3) = 1/4·n^2·(n + 1)^2

Induktionsanfang: Wir zeigen, dass es für n = 1 gilt.

Σ (k = 1 bis 1) (k^3) = 1/4·1^2·(1 + 1)^2

1^3 = 1/4·2^2

1 = 1 -- > Stimmt!

Induktionsschritt: Wir zeigen, dass es für n + 1 gilt, unter der Annahme, dass es für n gilt.

Σ (k = 1 bis n + 1) (k^3) = 1/4·(n + 1)^2·((n + 1) + 1)^2

Σ (k = 1 bis n) (k^3) + (n + 1)^3 = 1/4·(n + 1)^2·(n + 2)^2

1/4·n^2·(n + 1)^2 + (n + 1)^3 = 1/4·(n + 1)^2·(n + 2)^2

1/4·n^2 + (n + 1) = 1/4·(n + 2)^2

n^2 + 4·(n + 1) = (n + 2)^2

n^2 + 4·n + 4 = n^2 + 4·n + 4 --> Stimmt!

Comments

Achtung: Das sind noch nicht die Gesamtkosten die in der Fragestellung verlangt werden.

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ich wollte es grad nochmal selber probieren da ich auf den gedanken Vollständige indunktion kam.^^

ich schaue es mir dann danach an.

Die vollständige indunktion sollte ich alleine hinbekommen.

Vielen Dank

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Meine Lösung, hoffe ist alles ok :)

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ich komm leider nicht auf den Bezug mit dem Gesamtkosten.

n^2 + 4n +4 wie ich dass mit 200€/m^3 kombinieren kann.

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Du musst rechnen

∑(k^3, k, 80, 100)·200·10^{-6} = 3103.38 E

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es geht also um das einsetzen der Formel

∑(k=80, 100) k^{3} = 1/4 *(80)^{2}(81)^{2}=

so komme ich leider nicht auf die 200*10^{-6} und somit auf 3103,38€

kannst du mir bitte den zwischenschritt zeigen ?

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Könnt ihr mir bitte noch den letzten part erklären?

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Die Zeile

∑(k=80, 100) k^3

bedeutet, dass du 80^3, 81^3, ... bis 100^3 summieren musst.