Extrema und Wendepunkte der Funktionsschar f(x)=x^{2}*e^{k*x} ermitteln.

Question

Es geht um die Untersuchung der Funktionsschar \( f_k(x) = x^2 · e^{k·x} \)

Schwierigkeiten bereitet mir dabei das Ermitteln von Extrema und Wendepunkten!

Ich weiß, dass dazu für die Hoch-/Tiefpunkte die erste Ableitung, für die Wendepunkte die zweite Ableitung gleich Null gesetzt werden muss, jedoch scheitere ich daran, die Gleichung nach x auf zu lösen.

Ich habe die Ableitungen folgender Maßen ermittelt (bin mir aber nicht sicher, ob das so stimmt):

\( f^{\prime}(x)=2 x · e^{k+x}+x^{2} · k · e^{k · x} \)

\( f^{\prime \prime}(x)=2 · e^{k · x}+2 x · k · e^{k · x}+2 x · k · e^{k · x}+x^{2} · k · k · e^{k · x} \)

Aber wie kann ich das ganze jetzt nach x umstellen?

Answer 1

Hi,

klammere in jedem Falle die e-Funktion aus. Diese kann ohnehin nicht 0 werden.

$$f'(x) = x\cdot e^{kx}(kx+2)$$

$$f''(x) = e^{kx}(k^2x^2+4kx+2)$$

Extremstelle:

Nun kann man direkt f'(x) = 0 bestimmen.

\(x_1 = 0\) und \(x_2=-2/k\)


Um was für ein Extremum es sich handelt -> in die zweite Ableitung einsetzen, aber das überlasse ich mal Dir ;).


Wendestelle:

f''(x) = k^2x^2+4kx+2 = 0

Nimm die Mitternachtsformel oder abc-Formel:

$$x_{1,2} = \frac{-4k\pm\sqrt{16k^2-4\cdot k^2\cdot2}}{2k^2} = \frac{-4k\pm\sqrt{8k^2}}{2k^2} = \frac{-4k\pm2k\sqrt{2}}{2k^2} $$

$$ = \frac{-2\pm\sqrt2}{k}$$


Natürlich ist hierbei k≠0.


Grüße

Answer 2

Beide Ableitungen sind korrekt, wobei man allerdings jeweils noch e ^{k x} ausklammern sollte. Man erhält dann:

f ' ( x ) = e ^{k x}  * ( k x ² + 2 x )

f ' ' ( x ) = e ^{k x} * ( k ² x² + 4 k x + 2 )

Schaut man sich nun die Funktionsterme an, dann sieht man, dass sie jeweils ein Produkt aus einer e-Funktion und einer ganzrationalen Funktion sind.

Um nun die Nullstellen zu finden ist es hilfreich daran zu denken, dass ein Produkt genau dann den Wert Null annimmt, wenn mindestens einer seiner Faktoren den Wert Null annimmt.

Und wenn man sich dann noch an den Verlauf der e-Funktion erinnert ( diese nimmt nirgends den Wert Null an), dann kommt man darauf, dass gilt:

f ' ( x ) = 0 <=> k x  ² + 2 x = 0

bzw.

f ' ' ( x ) = 0 <=> k ² x² + 4 k x + 2 = 0

Auf diese Weise bist du das Problem mit dem Exponenten losgeworden und schaffst den Rest nun sicher alleine, oder?

Comments

Vielen Dank, dass du noch einmal anschaulich dargestellt hast, dass man e^x bzw. in diesem Fall e^(k*x) ausklammern muss -  mein Lehrer war so freundlich uns dies vor zu enthalten...

Allerdings ist die von 'Unknown' dargestellte Antwort hilfreicher, da er zeigt, dass man die Mitternachtsformel (die ich noch nicht kannte) zum einfachen Auflösen der Gleichung verwenden kann.

Finde aber trotzdem bewundernswert, dass es so viele hilfsbereite Leute gibt :) Danke für deine Bemühungen!