Zeigen Sie, dass es kein Skalarprodukt, für das folgendes gilt, gibt:

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass es kein Skalarprodukt〈·,·〉: R^2 × R^2 → R gibt mit

〈 (1;1)^T, (0;1)^T 〉 =  0   ,     〈 (1;0)^T, (1;0)^T 〉 =  2   ,     〈 (1;2)^T, (1;0)^T 〉 =  4

Hallo an alle :)

diese Aufgabe bereitet mir enige Probleme. Ich weiß nicht so recht, wie ich hier am besten rangehen soll. Aufgaben, die mit einer gegebenen Abbildung zum Skalarprodukt starten kenne ich, aber von der anderen Seite zu starten scheint mir schwer zu fallen.

Ich würde mich über eure Hilfe sehr freuen.

LG tbd321

Comments

Welche Eigenschaften muss ein Skalarprodukt erfüllen? Mir fällt da spontan die Linearität ein. Vielleicht liegt da der Haken ;).

---

Ich denke mal darüber nach! Danke dir :)

Answer 1

Du hast ja 3 Bedingungen.

(2) und (3) ergeben wegen der Linearität 

  〈 (0;2)T, (1;0)T 〉 =  2   also (Faktor 2 im 1. Arg. rausziehen)

  〈 (0;1)T, (1;0)T 〉 =  1 wegen Symmetrie also 

  〈 (1;0)T, (0;1)T 〉 =  1

das zusammen mit (1) gibt

  〈 (0;1)T, (0;1)T 〉 =  -1 im Widerspruch zu

positiv definit.

Comments

Erst einmal danke für deine Antwort!

Vielleicht liegt es an der Uhrzeit, aber deinen ersten Schritt bekomme ich gerade nicht auf die Reihe :S

"(2) und (3) ergeben wegen der Linearität

  〈 (0;2)T, (1;0)T 〉 =  2"

könntest du mir da nochmal sagen was genau du da gemacht hast?

LG tbd321

---

   〈 (1;0)T, (1;0)T 〉 =  2   ,     〈 (1;2)T, (1;0)T 〉 =  4 

Die beiden hinteren Vektoren sind gleich, also kannst du

die Skalarprodukte subtrahieren und hast 

2   =4 - 2 

   = 〈 (1;2)T, (1;0)T 〉 +   〈 (1;0)T, (1;0)T 〉 

    =  〈 (1;2)T -(1;0)T, (1;0)T 〉 

    =  〈 (0;2)T, (1;0)T 〉 

---

Booh! - es ist immer wieder erstaunlich was Mathematiker aus so einer scheinbar einfachen Sache wie dem Skalarprodukt heraus abstrahieren. Seid doch bitte so nett und nennt mir auch nur eine einzige praktische physikalische oder sonstwie Anwendung bei der

$$\left< \begin{pmatrix} 1 \\ 0\end{pmatrix},  \begin{pmatrix} 1 \\ 0\end{pmatrix} \right>  = 2$$

ist.