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Aufgabe:

Zeigen Sie, dass es KEIN euklidisches Skalarprodukt ⟨, ⟩ : ℝ3× ℝ3→ ℝ gibt, so dass die durch die Matrix
A=\( \begin{pmatrix} 4 & 4 & -7\\ -1 & 0 & 4 \\ 0& 0 & 2  \end{pmatrix} \)  gegebene Abbildung ℝ3→ ℝ3 mit v → A · v, selbstadjungiert ist.


Ideen?

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Hallo,

Das könnte daran liegen, dass A bei dir nicht symmetrisch ist.
Für das Standardskalarprodukt und eine beliebige Matrix A gilt
<Ax,y> =<x,A^T y>
Die Bedingung für selbstdadjungiert lautet
<Ax, y> = < x,Ay>
beides zusammen bedeutet A^T = A , daher A symmetrisch.

Jetzt musstest du nur noch zeigen, dass

die erste Gleichung

<Ax,y> =<x,A^T y>

für jedes euklidische Skalarprodukt gilt.

Die adjungierte Matrix ist nicht unbedingt immer die transponierte, dementsprechend reicht es nicht aus einfach nur zu sagen, dass \(A\) nicht symmetrisch ist. Nimm dir das Skalarprodukt \(\langle x,y\rangle = x_1y_1+2x_2y_2\) und \(A\) die Vertauschungsmatrix \(Ax=(x_2,x_1)\). Dann ist \(A\) zwar symmetrisch, aber nicht selbstadjungiert, denn \(5=\langle (1,1),(1,2) \rangle=\langle A\cdot(1,1),(1,2) \rangle\neq \langle (1,1),A\cdot(1,2) \rangle=\langle (1,1),(2,1) \rangle=4\).

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