Die adjungierte Matrix ist nicht unbedingt immer die transponierte, dementsprechend reicht es nicht aus einfach nur zu sagen, dass \(A\) nicht symmetrisch ist. Nimm dir das Skalarprodukt \(\langle x,y\rangle = x_1y_1+2x_2y_2\) und \(A\) die Vertauschungsmatrix \(Ax=(x_2,x_1)\). Dann ist \(A\) zwar symmetrisch, aber nicht selbstadjungiert, denn \(5=\langle (1,1),(1,2) \rangle=\langle A\cdot(1,1),(1,2) \rangle\neq \langle (1,1),A\cdot(1,2) \rangle=\langle (1,1),(2,1) \rangle=4\).