Zeigen Sie, dass Abbildung auf W = C([0, π], ℝ) kein Skalarprodukt definiert:

Question

Hallo,

Zeigen Sie, dass Abbildung auf W = C([0, π], ℝ) kein Skalarprodukt definiert:

⟨f,g⟩=\( \int\limits_{0}^{π} \) f(t)g(t)cos(t) dt          f,g ∈ W

Ich habe hierbei schon Nichtnegativität und Symmetrie gezeigt, ich weiß nur noch nicht wie ich die Linearität zeigen (bzw. nicht zeigen) soll.

Außerdem weiß ich nicht was das C hier bedeuten soll.

Wäre über jede Hilfe sehr dankbar.

Comments

Das C bedeutet vermutlich, dass die Funktionen in W stetig sind.
Sicher, dass die obere Grenze des Integrals gleich π ist? Dann gilt Nichtnegativität nicht, denn mit ƒ(t) = √t wäre dann ⟨ƒ,ƒ⟩ = -2.

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Ja, die Grenze stimmt.

Ach super dann muss ich mich gar nicht mit Linearität rumschlagen.

Vielen Dank!

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Muss leider nochmal stören, ich habe das mal nachgerechnet und habe dann für ƒ(t) = √t für ⟨f,f⟩

unter dem Integral tcos(t)dt und das ergibt nach dem Integral ja immer 0 für mich.

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Oh nein, hatte mich verrechnet, jetzt komme ich auch auf -2... Entschuldigung.

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Dass es kein Skalarprodukt ist, lässt sich auch noch einfacher zeigen, denn mit ƒ(t) = 1 ist ⟨ƒ,ƒ⟩ = 0, was auch nicht sein dürfte.

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Das stimmt, uff, dass ich das alles nicht gesehen hab :(