Zeigen Sie, dass es kein euklidischer Skalarprodukt durch diese Matrix selbstadjungiert ist.

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass es KEIN euklidisches Skalarprodukt ⟨, ⟩ : ℝ³× ℝ³→ ℝ gibt, so dass die durch die Matrix
A=\( \begin{pmatrix} 4 & 4 & -7\\ -1 & 0 & 4 \\ 0& 0 & 2  \end{pmatrix} \)  gegebene Abbildung ℝ³→ ℝ³ mit v → A · v, selbstadjungiert ist.

Ideen?

Comments

Hallo,

Das könnte daran liegen, dass A bei dir nicht symmetrisch ist.
Für das Standardskalarprodukt und eine beliebige Matrix A gilt
<Ax,y> =<x,A^T y>
Die Bedingung für selbstdadjungiert lautet
<Ax, y> = < x,Ay>
beides zusammen bedeutet A^T = A , daher A symmetrisch.

Jetzt musstest du nur noch zeigen, dass

die erste Gleichung

<Ax,y> =<x,A^T y>

für jedes euklidische Skalarprodukt gilt.

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Die adjungierte Matrix ist nicht unbedingt immer die transponierte, dementsprechend reicht es nicht aus einfach nur zu sagen, dass \(A\) nicht symmetrisch ist. Nimm dir das Skalarprodukt \(\langle x,y\rangle = x_1y_1+2x_2y_2\) und \(A\) die Vertauschungsmatrix \(Ax=(x_2,x_1)\). Dann ist \(A\) zwar symmetrisch, aber nicht selbstadjungiert, denn \(5=\langle (1,1),(1,2) \rangle=\langle A\cdot(1,1),(1,2) \rangle\neq \langle (1,1),A\cdot(1,2) \rangle=\langle (1,1),(2,1) \rangle=4\).