Bei folgender Aufgabe bin ich mir nicht sicher, ob die Beweisidee dazu korrekt ist:
Sei V ein K-Vektorraum und S ⊂ V. Z.z. [S]lin = [S∪{0}]aff.
Für [S∪{0}]lin ⊂ [S]aff habe ich mit einer Familie von Punkten (mi)i∈I aus dem affinen Raum S eine Familie von Skalaren (λi)i∈I
$$ \lambda_j = 1- \sum_{i \neq j}{ \lambda_{i}} , \sum_{i \in I}{\lambda_i} = 1$$ dargestellt, da bei affiner Linearkombination die Summe aller Skalare λi ∈ K zusammen 1 ergeben müssen. Dann habe ich $$ m = \sum_{i \in I}{m_i \lambda_{i}} = m_j + \sum_{i \neq j}{\lambda_i (m_i - m_j)} $$ und $$ v = m - m_j = \sum_{i \neq j }{\lambda_i (m_i - m_j)} $$ als Linearkombination von [S]lin aufgefasst.
Für [S]lin ⊂ [S∪{0}]aff kann man beweisen, dass die affine Hülle eines affinen Raumes der kleinste Durschnitt ist, welcher die Familie von Punkten (mi)i∈I aus S∪{0} enthält. Daraus kann man folgern, dass für jeden affinen Unterraum [S∪{0}] = S∪{0} gilt. Ähnliches lässt sich über die lineare Hülle von S beweisen, daraus folgere ich dann die zweite Mengeninklusion und habe die gewünschte Gleichheit.
Andererseits habe ich auch versucht aus der vorherigen Mengeninklusion die Differenz v = m - mj wieder als lineare Lk darzustellen und zu folgern, dass dieser Vektor auch in der affinen Hülle von S∪{0} liegt.
Meine anderen Versuche gehen darauf zurück, die Punkte des affinen Raumes von S∪{0} als affine Lk darzustellen und jeden Differenzvektor, welcher auch als affine Lk von Vektoren dargestellt werden kann, aus diesen affinen Lk darzustellen und zu folgern, dass die affine Lk des Vektors mit der linearen Lk übereinstimmt und diese dann auch über die Differenz von Punkten darzustellen. Der Translationsraum ist T(S∪{0}) ={τv | v ∈ S∪{0}} = {s - a | s,a ∈ S∪{0} }, dabei sind s und a Punkte aus dem affinen Raum und v der jeweilige "Schiebevektor".
LG Kalidhor
