Zeigen sie dass die Lineare Hülle(Spann) von u,v gleich der von x,y ist

Question

Aufgabe:

Seien u=(1,2,1), v=(1,3,2), x=(1,1,0) und y=(3,8,5) Vektoren in R^3. Zeigen Sie:
lin{u, v} = lin{x, y}.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe das Prinzip der Linearen Hülle (Spann) leider nicht, und damit auch die Aufgabe nicht...

Answer 1

Aloha Nullchekerin ;)

Wir rechnen die linearen Abhängigkeiten der beiden Vektorenpaare mittels elementarer Spalten-Operationen weitestgehend heraus:

$$\left(\begin{array}{rr} & -S_1\\\hline1 & 1\\2 & 3\\1 & 2\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{rr} & \\\hline1 & 1-1\\2 & 3-2\\1 & 2-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}-S_2 & \\\hline1 & 0\\2 & 1\\1 & 1\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{rr} & \\\hline1-0 & 0\\2-1 & 1\\1-1 & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr} & \\\hline1 & 0\\1 & 1\\0 & 1\end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{rr} & -3S_1\\\hline1 & 3\\1 & 8\\0 & 5\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{rr} & \\\hline1 & 3-3\\1 & 8-3\\0 & 5-0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr} & :\,5\\\hline1 & 0\\1 & 5\\0 & 5\end{array}\right)\to\left(\begin{array}{rr} & \\\hline1 & 0:5\\1 & 5:5\\0 & 5:5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr} & \\\hline1 & 0\\1 & 1\\0 & 1\end{array}\right)$$

Wir konnten also beide Vektorpaare auf dieselbe Basis reduzieren. Daher spannen beide Paare denselben Vektorraum auf.

Comments

Dankeschön!!

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Nullcheckerin schrieb:

Ich verstehe das Prinzip der Linearen Hülle (Spann) leider nicht,

@Nullcheckerin: ich habe da mal 'ne Frage:

verstehst Du denn jetzt auf Grund dieser Antwort das 'Prinzip der Linearen Hülle' ? Was war Dir dann vorher nicht klar?