Mit Gausselimination lösen

Question

Folgendes soll ich mittels Gausselimination lösen:

x₁ - 2x₂ - x₃ = 1
2x₁ - 3x₂ + 1x₃ = 6
3x₁ - 5x₂ + 0 = 7
1x₁ + 0 + 5x₃ = 9

Ich komme hier auf keinen grünen Zweig.

Hierbei handelt es sich um die erweiterte Matrix Ab
$$\begin{matrix} 1  & -2 & -1 & 1 \\ 2 & -3 & 1 & 6 \\ 3 & -5 & 0 & 7 \\ 1 & 0 & 5 & 9 \end{matrix} $$

Erst rechne ich die Zeilen 2-4 mit minus dem multiplikativen von Zeile eins, um alles Nullen zu bekommen:
$$\begin{matrix} 1  & -2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 2 & 6 & 8 \end{matrix} $$
Ab hier löst sich ja jede Zeile auf und ich komm auf keine Stufenform. Wo liegt der Fehler?

Danke

Comments

4 Gleichungen mit 3 Unbekannten ?

Answer 1

:-)

Ab hier löst sich ja jede Zeile auf

Das ist doch schön, dann gibt's weniger zu rechnen und du bist schneller mit der Aufgabe durch!

und ich komm auf keine Stufenform

Doch kommst, du einfach weiter machen. Du bekommst zwei Nullzeilen, die du weglassen kannst. Übrig bleibt

1    -2    -1    1
0     1     3    4

Davon die Stufenform ist

1      0     5    9
0      1     3    4

Das LGS ist unterbestimmt, du kannst eine Variable frei wählen, z.B.
x₃ = t

x₂ + 3t = 4
x₂ = 4 - 3t

x₁ + 5t = 9
x₁ = 9 - 5t

Oder, wenn ihr das Thema schon hattet,
Koeffizientenmatrix quadratisch machen und fehlende Pivotelemente mit -1 erstetzen:

1    0    5    9
0    1    3    4
0    0   -1    0

Die Lösungsmenge des LGS ist
L = {(9,4,0) + a·(5,3,-1), a  ∈ ℝ} (Vektoren in Zeilenschreibweise).

Grüße