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Um die Kreisfläche mittels Integral zu berechnen, muss man das Integral geeignet substituieren:

$$A=4\int _{ 0 }^{ r }{ \sqrt { { r }^{ 2 }-{ x }^{ 2 } }  } $$

Man substituiert dann wohl:

$$x=\quad r\cdot sin(u)\quad $$

Hier habe ich meine erste Verständnisfrage. Wie kommt man auf diese Substitution? Geometrisch wäre doch

$$x=\quad r\cdot cos(u)\quad $$

richtig - oder?

Auch verstehe ich nicht, wie man auf die folgende Beziehung kommt:

$$\frac { du }{ dx } =\frac { 1 }{ r\cdot cos(u) } $$

ES wäre nett, wenn mich jemand noch vor Weihnachten schlau machen könnte.

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1 Antwort

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beide Substitutionen führen zum Ziel, da sin(u)=cos(u-π/2).

Das ist also nur an der u-Achse verschoben und gleicht sich dann durch die neuen Integralgrenzen aus.

Richtig, üblicherweise wählt man x=r*cos(u) in Polarkoordinaten.

Das neue Differential bekommst du durch Ableiten der Substitutionsvorschrift.

x=r*sin(u)

dx/du = x'(u) = r*cos(u) 

dx/du=r*cos(u) | "Kehrwert bilden"

du/dx=1/(r*cos(u))

Avatar von 37 k

Danke, jetzt habe ich es verstanden.

Ich dachte, ich muss erst x=r*sin(u) nach u auflösen, bevor ich ableite. Aber es geht ja auch, dass ich zuerst dx/du statt du/dx ausrechne und dann nach dx auflöse.

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