Seien U und W Unterräume von V. Schnittmenge bestimmen

Question

Seien U und W Unterräume von V. Sei U= {(x,y,0,x)für die gilt: x,y ∈ℚ} und W={(x,y,z,y)für die gilt: x,y,z ∈ℚ}. Nun soll ich die Menge U∩W bestimmen und eine Basis B für U∩W bestimmen. Außerdem soll ich eine Basis C von U und eine Basis C´von W bestimmen, die B enthalten.

Ich habe angefangen, dass B1= {v1,v2}eine Basis von U ist, die sich zu einer Basis B={v1,v2,v3,v4,v5} von V ergänzen lässt. Definiere W={v3,v4,v5}. Nun habe ich behauptet, dass U und W komplementär sind und habe das dann bewiesen.

Ist das richtig so oder habe ich das falsch gemacht?Weil ich habe die Aufgaben eben gemischt beantwortet weil ich nicht wusste wie man sie der Reihe nach beantwortet.

Comments

wer sind denn deine v1, v2, v3, ....   ?

Die kannst du doch aus den Def.'en von V und W gewinnen.

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Ja also v1=(1,0,0,1), v2=(0,1,0,0), v3=(1,0,0,0), v4=(0,1,0,1), v5=(0,0,1,0)

Answer 1

v1=(1,0,0,1), v2=(0,1,0,0), v3=(1,0,0,0), v4=(0,1,0,1), v5=(0,0,1,0)

Nun habe ich behauptet, dass U und W komplementär sind und habe das dann bewiesen. 

Wohl kaum, dann wären alle zusammen linear unabhängig, was aber für 5 Vektoren

aus ℝ⁴ nicht möglich ist.

Es ist  v1 + v2  =   v3 + v4  = z

also ist  z eine Basis für U∩W.

Und die gesuchten Basen für 

U und W sind dann z.B.

{z,v1}   bzw  {z,v3,v5}

Comments

Danke, das hat mir schon sehr weitergeholfen. Aber was ist dann die Menge U∩W?

Ist U ∩ W = {(a,b,0,?) mit a,b ∈ℚ }? Aber was muss für das Fragezeichen hin?

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Aber was ist dann die Menge U∩W?

Das sind alle Vielfachen von z, also 

{(a,a,0,a) mit a ∈ℚ }