Aufgabe zum Knobeln (Natürliche Zahlen) 7081 als Produkt schreiben

Question

Die Zahl 7081 lässt sich nur auf eine einzige Art als Produkt zweier natürlichen Zahlen(außer 1 und 7081) schreiben. Finde diese Zahlen. Mit einer trickreichen Überlegung kannst du dir viel Zeit sparen.

Answer 1

7081

Die Endziffer ist 1. Dies ist ein Produkt von
2
3 * 7
4
5
6
7 mal 3
8
9 mal 9

Probieren
7081 : 3 = 2360.03
7081 : 13 = 544.69
7081 : 23 = 307.87
7081 : 33 = 214.58
7081 : 43 = 164.67
7081 : 53 = 133.60
7081 : 63 = 112.40
7081 : 73 = 97

Da hätten wir schon etwas.

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Geht noch weiter

Bevor hier manche noch vor Spannung platzen:

7081:73 = 97

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Man sollte hier den Fall 1*1 nicht vergessen.

Answer 2

7081 =  7225  -  144 

          = 85² - 12²

=(85-12)(85+12) 

= 73 * 97 

        

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Hallo mathef,
meinen Glückwunsch zu der Lösungsmöglichkeit.
Entweder du hast Aufgaben dieser Art früher
schon gehabt oder
- dir ist selbst eingefallen die Zahl 7081
als Differenz zwei Quadratzahlen aufzufassen,
dann zunächst die Wurzel aus 7081 zu ziehen.
Wurzel 7081 = 84.1.
Dann die nächsthöhere Zahl zu probieren
85^2 = 7225
Dann 7225 minus 7081 zu probieren.
= 144. Bingo.
85^2 - 12^2 = 7081
und mit der 3.binomischen Formel
anzuwenden.

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Danke, den Trick mit der 3. binomi. Formel

habe ich mal irgendwo gesehen (gehört) .

Answer 3

7081 = 73·97

Du kannst dir jetzt ja mal überlegen mit welcher trickreichen Überlegung man viel Zeit sparen könnte.

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PS: Meine Trickreiche Überlegung war einen TR zu verwenden. Haha.

Answer 4

Die angesprochene trickreiche Überlegung gründet vermutlich darin, dass 7081 eine ungerade Zahl ist und daher als Differenz zweier Quadrate dargestellt werden kann. Der Minuend in dieser Differenz muss dabei mindestens 7081 betragen. Dies ist, wie man leicht im Kopf überschlagen kann, zum ersten Mal für die Zahl 85^2=(80^2+2*80*5+5^2)=7225 der Fall. Diese Zahl ist aber um 144=12^2, also dem noch fehlenden Subtrahenden, zu groß. Aus diesen Überlegungen ergibt sich

$$ 7081 = 85^2 - 12^2 = (85+12) \cdot (85-12) $$als das gesuchte Produkt. Ich habe als Hilfsmittel lediglich Papier und Bleistift benutz, sicher geht es natürlich auch im Kopf.

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Ja. Bleibt noch – obwohl nicht Teil der Aufgabe – die Einzigartigkeit der Zerlegung zu zeigen.