Gleichmäßig stetige Funktion, stetig fortsetzen auf ein kompaktes Intervall

Question

Zeigen Sie: Eine gleichmäßig stetige Funktion f : (a,b) → R lässt sich stetig nach [a,b] fortsetzen. Gilt das auch für komplexwertiges f ?

Bitte um Hilfe und/oder Tipp,

LG Mathstiger

Answer 1

Es kann ja ueberhaupt nur eine stetige Fortsetzung geben. Dazu muessen \(\lim_{x\to a^+}f(x)\) und \(\lim_{x\to b^-}f(x)\) existieren. Zeige das z.B. mit dem Folgenkriterium. Sei dazu \((a_n)\) eine Folge mit Gliedern in \((a,b)\) und \(a_n\to a\). Folgere unter Verwendung der gleichmaessigen Stetigkeit von \(f\), dass \((f(a_n))\) eine Cauchy-Folge ist.