Anzahl der Dreiecke der Kochschen Schneeflocke

Question

In der Aufgabe geht es um die Kochsche Schneeflocke, ich hab bereits den allgemeinen Flächeninhalt berechnet, stehe jetzt allerdings vollkommen auf dem Schlauch. Die Aufgabenstellung lautet: Beweisen Sie, dass bei der n-ten Iteration genau 3*4^{n-1} neue Dreiecke hinzukommen.

Meine Idee war es eigentlich mit vollständiger Induktion zu arbeiten, allerdings hab ich keine Ahnung, an welcher Stelle ich die IV einsetzen soll:

IA: Die Aussage stimmt für n=1: 3*4^{1-1} = 3*1 = 3.

IV: Die Aussage stimmt für beliebige, feste n∈ℕ: 3*4^{n-1}

IS: Die Aussage gilt für n+1: 3*4^{(n+1)-1}. Ich hab mir überlegt, dass man das umformen kann zu 3*4^n oder 3*4^n-1*4^1, das hilft mit aber nicht oder?

Comments

Deine Umformungen im IS sind nicht ganz richtig. Ich komme auf

IS: Die Aussage gilt für n+1:
3*4^(n+1-1) = 3*4^(n-1)*4

Ob das weiterhilft, weiß ich nicht.

Answer 1

Hast du schon die Anzahl Seiten bestimmt, die den Umfang der Flocke ergeben?

3

3*4 = 12

3*4*4 = 48

3*4*4*4 = 192

3*4^{n-1}

Bei der n. Flocke hat man also 3*4^{n-1} Seiten und über jeder Seite entsteht in der nächsten Iteration ein Dreieck. Also gibt es auch 3*4^{n-1} neue Dreiecke.