Koch-Kurve. Schneeflocke mit Dreiecken. Mathe Klasse 10 Aufgabe 11

Question

Ich verstehe Aufgabe 11 nicht, ich bitte um Lösung mit Erklärung

Die Koch-Kurve erhält man so:

Eine \(9cm\) lange Strecke wird in drei gleichlange Teile zerlegt. Der mittlere Teil bildet die Grundseite eines darüber errichteten gleichseitigen Dreiecks. Dieser Prozess wird jeweils mit den neu entstandenen Strecken wiederholt.

\(a)\) Ermittle eine Formel für die Gesamtlänge \(l(n)\) der Linien der \(n-\)ten Figur. Untersuche, ob die Folge \(l(n)\) einen Grenzwert hat.

\(b)\) Betrachte nun den Flächeninhalt \(f(n)\) der Fläche unterhalb der Linie. Untersuche, ob die Folge \(f(n)\) einen Grenzwert hat.

Comments

Bitte in Zukunft die Schreibregeln beachten: https://www.mathelounge.de/schreibregeln (Punkt \(4\)!)

Die Koch-Kurve erhält man so:

Eine \(9cm\) lange Strecke wird in drei gleichlange Teile zerlegt. Der mittlere Teil bildet die Grundseite eines darüber errichteten gleichseitigen Dreiecks. Dieser Prozess wird jeweils mit den neu entstandenen Strecken wiederholt.

\(a)\) Ermittle eine Formel für die Gesamtlänge \(l(n)\) der Linien der \(n-\)ten Figur. Untersuche, ob die Folge \(l(n)\) einen Grenzwert hat.

\(b)\) Betrachte nun den Flächeninhalt \(f(n)\) der Fläche unterhalb der Linie. Untersuche, ob die Folge \(f(n)\) einen Grenzwert hat.

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EDIT: @André: Danke für den Text. Habe den nun oben in die Fragestellung kopiert. Einfacher wäre es ohne TeX. Wenn ich deine Eingabe unbearbeitet kopiere sieht das sonst so aus:

Die Koch-Kurve erhält man so:

Eine 9cm9cm lange Strecke wird in drei gleichlange Teile zerlegt. Der mittlere Teil bildet die Grundseite eines darüber errichteten gleichseitigen Dreiecks. Dieser Prozess wird jeweils mit den neu entstandenen Strecken wiederholt.

a)a) Ermittle eine Formel für die Gesamtlänge l(n)l(n) der Linien der n−n−ten Figur. Untersuche, ob die Folge l(n)l(n)einen Grenzwert hat.

b)b) Betrachte nun den Flächeninhalt f(n)f(n) der Fläche unterhalb der Linie. Untersuche, ob die Folge f(n)f(n)einen Grenzwert hat.

Test mit rechter Maustaste:

Die Koch-Kurve erhält man so:

Eine 9cm9cm lange Strecke wird in drei gleichlange Teile zerlegt. Der mittlere Teil bildet die Grundseite eines darüber errichteten gleichseitigen Dreiecks. Dieser Prozess wird jeweils mit den neu entstandenen Strecken wiederholt.

a)a) Ermittle eine Formel für die Gesamtlänge l(n)l(n) der Linien der n−n−ten Figur. Untersuche, ob die Folge l(n)l(n)einen Grenzwert hat.

b)b) Betrachte nun den Flächeninhalt f(n)f(n) der Fläche unterhalb der Linie. Untersuche, ob die Folge f(n)f(n)einen Grenzwert hat.

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@Lu Dann werde ich zukünftig TeX weglassen. Allerdings könntest Du den Text auch aus dem Seitenquelltext (Rechtsklick -> Seitenquelltext anzeigen -> hier ab Zeile 466) kopieren. Dort wird der TeX-Code in den Klammern für den Mathjax-Interpreter gekapselt.

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Auch mit der rechten Maustaste wird das bei mir nichts. Vgl. Test oben. Und schon beim 3. Versuch im gleichen Eingabefeld wird angeblich die 8000 Zeichen Grenze überschritten.

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Okay. Das Problem mit den \(8000\) Zeichen hatte ich auch bei meinen Mathe-Artikeln, als ich die aus Word kopieren wollte. Ich könnte Dir ein Programm schreiben, das Dir die Arbeit für das Umformatieren nach dem Kopieren abnimmt. Du müsstest dann nur das Programm ausführen und hättest meine Antwort dann kopierfertig in der Zwischenablage ... aber erst, wenn ich heute Abend von der Arbeit wiederkomme. Oder (noch einfacher): kein TeX-Code mehr;-)

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Kein TeX-Code ist wohl das einfachste. Danke.

Answer 1

n=0 Man hat nur eine 9cm lange Strecke,

also l(0)=9

n=1  die ersten und die letzten 3cm der vorigen Strecke

bleiben erhalten, der mittlere Teil wird durch 2 von den

Dreiecksseiten ersetzt, also besteht  die gesamte Linie

jetzt aus 4 Teilen von je 3cm Länge, also   l(1) =4*3=12

n=2   Jedes der 4 Stücke aus dem Fall n=1 wird jetzt wieder

in 4 Teile der Länge 1 unterteilt. So besteht die gesamte

Linie aus 4*4 = 16 Teilen, die je 1cm lang sind, also l(2) = 16*1=16

n=3 Die 16 Teile vom Fall n=2 werden zu je 4 neuen Teilen

der Länge 1/3 also l(3)=4*16*1/3 = 64/3

Man sieht:

 l(1)=(4/3) * l(0) =  (4/3) * 9 = 12

 l(2)=(4/3) * l(1) =  (4/3)*(4/3) * 9 = (4/3)² * 9 = 16

 l(3)=(4/3) * l(2) =  (4/3)*(4/3)² * 9 = (4/3)³ * 9 = 64/3

also  l(n) =  (4/3)ⁿ * 9

Da 4/3 > 1  ist, wächst der Faktor    (4/3)ⁿ über alle Grenzen,

also kein Grenzwert vorhanden.

Für die Fläche kannst du entsprechend auch Schritt für Schritt

vorgehen und wirst sehen, dass es dort einen Grenzwert gibt.