Hi,
lese das hier bzgl. des Spatprodukts:
https://de.wikipedia.org/wiki/Spatprodukt#Betrag_des_Volumens_und_orientiertes_Volumen
Zum Volumen: Seien x,y und z deine Vektoren.
Sei U=Lin(x) und πU die orthogonale Projektion auf U (lila).
Spannen wir nun ein Parallelogramm auf mit x und y, so ist die Höhe des Parallelogramms gegeben durch h=|y-πU(y)|, wobei ich mit |·| die euklidische Norm im ℝ3 bezeichne.
~draw~ vektor(0|0 5|0 "x");vektor(0|0 2|3 "y");strecke(2|3 2|0 );vektor(0|0 2|0);text(2.2|1.5 "h");zoom(10) ~draw~
Damit ist der Flächeninhalt des Parallelogramms durch A= |x|·|y-πU(y)| gegeben:
~draw~ vektor(0|0 5|0 "x");vektor(0|0 2|3 "y");;polygon(0|0 5|0 7|3 2|3);zoom(10) ~draw~
Mit der Höhe des Spats gehen wir genauso vor.
Sei W=Lin(x,y) und πW die orthogonale Projektion auf W.
Die Höhe ist also gegeben durch H=|z-πW(z)|.
Letztendlich ist das Volumen V gegeben durch:
$$V=|x| \cdot |y-\pi_U(y)| \cdot |z-\pi_W(z)|$$
Zur Determinante:
Es gibt ein λ mit πU(y)=λ·x und μ,ν mit πW(z)= μ·x+ν·y.
Es gilt
$$|det(x ~ y ~ z)|=|det(x ~ y- \lambda x ~ z-\mu x - \nu y)|$$
da die Addition des Vielfachen einer Spalte zu einer anderen nicht die Determinante ändert.
Nach Konstruktion sind die Vektoren in der rechten Matrix orthogonal zueinander. Durch Normierung erhalten wir:
$$|det(x \ y \ z)| \\ =|det(x \ y-\lambda x \ z-\mu x - \nu y)| \\ =|x| \cdot |y-\lambda x| \cdot |z-\mu x - \nu y| \cdot |det(\frac{x}{|x|} \ \frac{y-\lambda x}{|y-\lambda x|} \ \frac{z-\mu x - \nu y}{|z-\mu x - \nu y|}) | \\ = |x| \cdot h \cdot H \cdot |det(\frac{x}{|x|} \ \frac{y-\lambda x}{|y-\lambda x|} \ \frac{z-\mu x - \nu y}{|z-\mu x - \nu y|}) |\\ = |x| \cdot h \cdot H $$
wobei das letzte Gleichheitszeichen gilt, da dier Betrag der Derminante einer orthogonalen Matrix 1 ist.
