Spat: Bestimmen Sie ß und das Verhältnis, in dem S die Strecke \( \overline{MT} \) teilt.

Question

Ich bereite mich gerade auf die Mathe Klausur vor und habe wiedermal ein Problem:

58. Die drei linear unabhängigen Vektoren \( \vec{a}, \vec{b} \) und \( \vec{c} \) erzeugen einen Spat ABCDEFGH. M sei der Mittelpunkt der Strecke \( \overline{HG} \). M wird mit einem Punkt der Raumdiagonale HB so verbunden, dass die Verlängerung die Grundfläche ABCD des Spats im Punkt T mit \( \overline{AT} = \frac{4}{5} \vec{a}+β\vec{b} \) schneidet. Bestimmen Sie ß und das Verhältnis, in dem S die Strecke \( \overline{MT} \) teilt.

Wie gehe ich am besten an so eine Aufgabe heran?

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Vom Duplikat:

Titel: Teilverhältnis im Spat

Stichworte: vektoren,verhältnis,strecke

Aufgabe: 19

Problem/Ansatz:

Ich verstehe es nicht, wieso ich den Wert b(beta)

gleich null bekomme.

Meine geschlosse Kette ist:

AT+TS+SB+BA = 0

ich bekomme:

x = Verhältnis von TM

y = Verhätnis von SB

z = Beta

a(4/5-3/10x+y-1) +b(z+x+xz-y)+c(x-y) = 0

Das heißt : x = y

                   7/10x = 1/5 -> x = 2/7 =y

        Da x=y : xz + z = 0

                      xz = z

Wo ist der Fehler?

Answer 1

Du brauchst erst mal einen geschlossenen Streckenzug, der durch die in Frage stehenden
Punkte geht, hier z.B.   ATSBA
Dann versuchst du den durch eine Vektorkette nachzugehen:
AT + TS + SB + BA = 0
jetzt musst du versuchen alles durch abc und geeignete Faktoren xyz darzustellen
(o,8a + xb )+   y* ( TM) + z*(a-b-c)     - a  = 0
jetzt fehlt noch was für TM  , der geht von T nach M also - (0,8a + xb ) +c + b+ 0,5 a
einsetzen:
(o,8a + xb )+   y* ( - (0,8a + xb ) +c + b+ 0,5 a   ) + z*(a-b-c)     - a  = 0
Klammern auflösen und nach abc sortieren
o,8a + xb +   - 0,8ya -yxb  +yc + yb+ 0,5y a   ) + za-zb-zc     - a  = 0
(0,8 -08y + 0,5y + z - 1)a + ( x-xy+y-z)b + ( y-z)c     = 0
weil abc lin. unabh. sind, sind die Klammern alle gleich 0, also
0,8 -08y + 0,5y + z - 1 = 0   bzw  -0,2 -0,3y + z = 0
x-xy+y-z = 0
y-z   = 0      also y=z in die ersten beiden einsetzen

x-xz - z  = 0   und     -0,2 -0,3z + z = 0
                                            -0,2 = -0,7 z
                                               z = 2/7 
x-(2/7)x - (2/7) = 0
(5/7)x  =  2/7 
     5x = 2
       x = 0,4     und z= 2/7  und  y=2/7 
Damit hat das gesuchte ß ( hier hieß es x) den Wert 0,4

und aus TS = y*TM hat man TS = (2/7) * TM
TS ist also 2/7 und der Rest demnach 5/7 von TM
also wird die Strecke im Verhältnis 5 : 2 geteilt.

Comments

Und wieder einmal eine TOP Antworte, dankeschön :)

Hat mir sehr geholfen

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Dann solltest du den Rechenfehler bemerkt haben

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Rechenfehler? :o Nein habe ich ehrlich gesagt nicht..

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Haben Sie falsch gemacht?

Woher bekommen Sie 2/5 ?

 weil x vom x-xy+y-z gleich null ist, da y = z —> y = z ist.