Stetigkeit und Folgen f:[0;∞)->[0,∞) stetig mit 2x≤f(x)≤3x... und a_(n)> f(a_(n+1)). Zeige: (an) konvergiert...

Question

Sei \( f:[0, \infty) \rightarrow[0, \infty) \) stetig mit \( 2 x \leqq f(x) \leqq 3 x \). Für die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}, a_{n} \in \mathbb{R}_{0}^{+} \) gelte \( a_{n}>f\left(a_{n+1}\right) \) für alle \( n \in \mathbb{N} \).

Zeigen Sie, dass \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) konvergiert und bestimmen Sie \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} f\left(a_{n}\right) \).

Geben Sie ein Beispiel einer solchen Funktion \( f \) und einer solchen Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) an.

Answer 1

Eine solche Funktion zu finden ist doch leicht, nimm einfach \(f(x)=2x\).

Die Bedingung \(a_n > f(a_{n+1})\) ist dann äquivalent zu \(a_n > 2a_{n+1}\) und daraus folgt \(a_{n+1} < \frac{a_n}{2} \). Jetzt solltest du es selbst schaffen dir eine rekursive Folge zu basteln, die diese Bedingung erfüllt. Bedenke außerdem, dass nach der Aufgabenstellung die Folge stets positiv sein muss.

Answer 2

Wie wäre es mit:

a₀ = 2

a_n+1 = 1/ ( a_n)^2

Falls du noch beweisen musst,dass das konvergiert und die Bedingungen erfüllt sind, schaffst du das bestimmt selber :)

Comments

okay ihrgendwie versehe ich deine Folge nicht....
wie sieht die a_n folge denn bei dir aus damit bei a₀ =2 die a_n+1 dann 1/ (a_n)² rauskommt ...
a_n+1 ist ja so allgemein definiert
a_n+1 = a_n + a_n-1

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Ohh, vergiss erst einmal meine Folge, ich habe da nicht richtig nachgedacht.Ich schaue mir das nochmal kurz an.

" a_n+1 ist ja so allgemein definiert 
a_n+1 = a_n + a_n-1"

Wie kommst du da drauf?  Das a_n+1  kann ich mir doch so definieren,wie ich möchte, wenn ich eine eigene rekursive Folge erstelle.

Ich denke, du hast das Prinzip von rekursiven Folgen nicht so ganz verstanden.

Du setzt dir erst einmal einen "Startpunkt" fest . Und zwar a₀ . Und jetzt machst du eine Vorschrift, wie jedes beliebige a_n+1 auszusehen hat. Also wie jedes beliebige Folgeglied aussieht, wenn du das Glied a_n bereits hast.
Dieses a_n+1 hängt dann von dem vorherigem Glied, also a_n ab. Das ist so mehr oder weniger das,was hinter rekursiven Folgen steckt.

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Bringts nicht einfach eine ganz simple Folge?
Wähle a0 beliebig.
a_n+1 = a_n /3

Das müsste doch für n gegen unendlich gegen 0 konvergieren oder täusche ich mich da?
Du nimmst quasi immer ein drittel von dem vorherigem Wert.

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Okay dann ist sozusagen a_n+1 das darauffolgende also bei a_n= n ...... a_n+1 = n+1 ? is natürlich nur ein einfaches beispiel, aber ist dann so oder? das nächste Folgeglied also ..

zu meiner folge zurück :

wenn ich die eine Bedingung umschreibe zu (finde es so rum leichter)

2*a_n+1 < a_n

geht die Bedingung dann für a_n = 1 / n²

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a_n+1 = a_n /3 

ich verstehe die folge nicht .. des ist doch eine Beziehung zwischen a_n+1 und a_n oder .... eine folge müsst doch vom aufbau a_n = n sein oder?

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"Okay dann ist sozusagen a_n+1 das darauffolgende also bei a_n= n ...... a_n+1 = n+1 ? is natürlich nur ein einfaches beispiel, aber ist dann so oder? das nächste Folgeglied also .."

Nein.
Hast du meinen nächsten Kommentar schon gelesen?

Wichtig ist, dass dein Glied a_n+1 von a_n abhängt.

Gehen wir das mal an einem Beispiel durch,wie so eine Folge aussieht.
Also zu der rekursiven Folge:

Wähle a0 beliebig.
a_n+1 = a_n /3        (1)

Wir wählen einfach mal a0 = 270  . Das ist unser Startwert. Wir möchten jetzt a1 berechnen. Das machen wir indem wir in (1) einsetzen( und zwar für n = 0):

a₀₊₁ =a₁ = a₀ / 3 = 270/3 = 90

Jetzt möchten wir a2 berechnen. Das machen wir, indem wir jetzt den Wert für n=1 in die rekursive Formel einsetzen und den berechneten Wert für a1 benutzen:

a₁₊₁ =a₂ = a₁ /3 = 30

Demnach wäre a3 = 10 , a4= 10/3 ....

Hat es "klick" gemacht ? :D

EDIT:

"ich verstehe die folge nicht .. des ist doch eine Beziehung zwischen a_n+1 und a_n oder .... eine folge müsst doch vom aufbau a_n = n sein oder?"

Die Definition einer rekursiven Folge ist, dass die Folgeglieder von einem oder mehreren vorherigen Gliedern abhängig sind. Das heißt a(n+1) muss in einer Beziehung zu einem vorherigem Glied a(n) sein.

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Okay habe verstanden wie eine rekursive Funktion funktioniert... allerdings verstehe ich jetzt nicht wie ich diese

a_n+1 = a_n /3   als 

a_n = ....

aufschreibe, denn in dieser form brauche ich sie.

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a_n+1 = a_n /3

Genau so schreibt man rekursive Folgen im Normalfall auf. Wie kommst du darauf, dass du sie anders aufschreiben musst?

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da ich in dem nächsten teil den lim a_n aufstellen muss ...

mir fällt grade so auf das in der Aufgabe eigentlich nur eine Folge gesucht wird und ich momentan nichtmal weiß woher ich das rekursiv her habe ....

würde es etwas ändern wenn die folge nicht rekursiv sein müsste ?

dann schreibt man sie ja mit a_n = ... oder?

Bin grad echt verwirrt

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Ich soll eig nur eine Folge (a_n)_n∈ℕ ,   a_n ∈ ℝ₀⁺  auf stellen die die Bedingungen

-a_n+1 <  a_n / 2

-a_n soll konvergieren

erfüllt

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Es wäre wahrscheinlich anschaulicher,wenn du mir die ganze Aufgabe postest.

Ich war schon leicht verwundert über die Aufgabenstellung.

Das ändert nämlich einiges. Wenn nur nach einer Folge gefragt wird, so ist in der Regel keine rekursive Folge gewünscht.

Dann müsste

a_n= 1/ (n^2)

deine Bedingung erfüllen.

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a_n= 1/ (n²)  hatte ich  auch aber nach ner testfolge erfüllt es ab n=3 nicht mehr 

a_n+1 <  a_n / 2

aber ich habe grad eine gefunden   a_n = 1 / (3ⁿ)

testfolge ergibt dann

2*a_n+1 < a_n

n=0                                 0,66 < 1

n=1                                 0,22< 0,33

n=2                                 0,07< 0,11

n=3                                 0,02< 0,03

n=4                                0,008<0,012

daher konvergiert a_n auch gegen null und die Bedingung a_n+1 <  a_n / 2 ist auch erfüllt oder?

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Oh wow. Ich denke grade auch etwas zu fahrlässig nach.

Ob deine Folge das auch wirklich für alle n erfüllt, müsste man dann eventuell per Induktion zeigen. Aber deine Folge ist richtig. Jetzt haben wir es :D

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Okay danke dir aufjedenfall vielmals für deine Hilfe ... hab jetzt verstanden was eine rekursive Folge ist, auch wenn mir erst spät aufgefallen ist das ich die eig gar nicht suche...

Dank dir trotzdem für deine Geduld. Hat ja länger gedauert

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Vermutlich stammt die Aufgabe von hier: https://www.mathelounge.de/229673/aufgabe-zu-stetigkeit-und-folgen?show=229785#a229785

Man muss keine rekursive Folge nehmen, aber es bietet sich hier einfach an und man sieht sofort, dass die Ungleichung erfüllt ist. Übrigens ist jede derartig konstruierte Folge konvergent. Das ist ja der Witz bei der Aufgabe.

Ich hätte als Folge einfach \(a_0:=1, a_{n+1}=\frac{a_{n}}{3} \) genommen. Man sieht sofort, dass \(a_{n+1} < \frac{a_n}{2} \) erfüllt ist und als Grenzwert erhält man durch lösen der Gleichung \(a=\frac{a}{3}\) unter Berücksichtigung der Tatsache, dass die Folge monoton fällt und durch 0 nach unten beschränkt wird und deshalb wirklich konvergiert \(a=0\).

Answer 3

Jede geometrische Folge (siehe Wikipedia)

a[n+1]=a[n]/k mit k>2 erfüllt diese Bedingung

und bei geometr. Folgen kennt man die explizite Form:

a[n]=Faktor*k^{1-n}

Der Faktor hängt von den Startbedingungen der rekursiven Form ab.