Konvergente komplexe Folge (ak) mit Grenzwert a. Zeige, dass lim Re(ak) = Re(a) und lim Im(ak)=Im(a)

Question

die Aufgabe lautet folgendermaßen:

Sei (a_k)_k∈N ⊂ K eine konvergente Folge mit Grenzwert a = lim k→∞ a_k . Beweisen Sie die folgende Aussage:

lim k→∞ Re(a_k) = Re(a) und lim k→∞ Im(a_k) = Im(a).

Danke :)

Answer 1

Auf der Zeichnung siehst du schon nach Pythagoras:

| a - a_k | ² =  | Re(a) - Re(a_k) |²  +| Im(a) - Im(a_k) |²        #grün                    rot                       lilaDas kannst du auch durch | a - a_k | ² = (a - a_k )*(a - a_k )quer

= ( Re(a) + i*Im(a)  -   (  Re(a_k) + i*Im(a_k) )  *   (  ....   ) = ...


=   | Re(a) - Re(a_k) |²  +| Im(a) - Im(a_k) |² rechnerisch nachweisen.

~draw~ ;vektor(1|2 7|3 "a-ak");strecke(1|2 8|2);strecke(8|5 8|2);zoom(10) ~draw~


Damit ist es einfach: Wenn   | a - a_k | < eps  gilt

Dann sowohl  | Re(a) - Re(a_k) |    < eps   also auch

     | Im(a) - Im(a_k) |  < eps ; denn  in # steht ja rechts die

Summe zweier positiver Werte, und die sind biede jeweils 

kleiner oder gleich  der Summe.