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Weiß jemand wie man diese Aufgabe mathematisch lösen kann ?

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b) findest du doch bereits hier: https://www.mathelounge.de/34927/beweise-folge-konvergiert-gegen-teilfolgen-konvergieren 

Wenn nicht: ähnliche Fragen anschauen. 

ich weiß aber a) finde ich schwierig und habe diese frage noch nirgendswo sonst gesehen

Vielleicht solltest du a) mal noch deutlicher schreiben. 

Und zudem Abkürzungen etc. erklären. H steht vermutlich für Häufungspunkt. Und die Vereinigung .... = N heisst wohl (soweit ich die Indizes erraten kann), dass es keine Elemente von (an)n€N gibt, die nicht in mindestens einer der Teilfolgen enthalten sind. 

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