Ableitung mit grösstmöglichem Intervall angeben. f(x) = ln(tan(x/2))

Question

Als Ableitung habe ich:

ƒ'(x)= 1/(2tan(x/2)*cos^2(x/2))

Doch was genau muss ich bei "Geben Sie I an" machen?

Grüße und Danke

Answer 1

Hi,

der Definitionsbereich des natürliche Logarithmus ist \(\mathbb{R}^+\). Du darfst also als Argument (das was in den Klammern steht bei ln(...) ) nur positive Zahlen einsetzen.

Der Definitionsbereich des Tangens ist \(D=x \in \mathbb{R} \backslash \{ k \cdot \pi + \frac{\pi}{2}\ \vert \ k \in \mathbb{R}\}\)

~plot~ tan(x) ~plot~

Jetzt muss \(1 \in I\) gelten.

Was ist also dein Intervall?

Comments

Heißt das also dass das Intervall folgendes ist:

[0;π/2] ? 

---

obwohl eher [0;π/2[

---

Der Definitionsbereich von \(\tan(\frac{x}{2})\) ist \(D=x \in \mathbb{R} \backslash \{2 \cdot k \cdot \pi + \pi \ \vert \ k \in \mathbb{Z}\}\).

~plot~ tan(x/2) ~plot~

Nun ist \( 1< \pi\) und \( 2 \cdot (-1) \cdot \pi + \pi = - \pi<1\).

Es ist also \(1 \in (-\pi, \pi)\). Allerdings darfst du ja nur positive Zahlen einsetzen. Was ist also dein Intervall I?

---

ok verstehe also dann [0;π[

---

Fast :)

\(I=]0,\pi[\) ist korrekt, da der natürliche Logarithmus nur für positive Zahlen definiert ist, d.h. also insbesondere nicht für die 0.

---

verdammt hätte ich bemerken müssen, danke für deine Hilfe.

---

Bitteschön :)

Hier mal der Graph des natürlichen Logarithmus:
~plot~ log(x) ~plot~

Für \(x \to 0\) geht er gegen \(- \infty\).

Answer 2

tan ist differenzierbar auf dem Intervall ] -pi/2 ; pi/2 [ .

also tan(x/2) auf ] -pi ; pi [ .

Allerdings muss wegen des ln das Ergebnis vom tan positiv sein.

Das ist nur für den Bereich  0 < x < pi der Fall.

Also ist das größtmögliche Intervall, welches die 1 enthält,

das Intervall ] 0 ; pi [