komplexe Zahlen imaginäre Einheit

Question

wieso wird die imaginäre Einheit i^2 unbedingt -1 (und keine andere Zahl) und wieso ist "i" gleich Wurzel aus -1 und keine andere reelle zahl ???????? Also im Internet habe ich die beispiele nur mit 1 gesehen . irgendwo stand, dass i^2=-1 ist die Eigenschaft von "i" , aber WIESO unbedingt die Zahl "1"?????????????????? 

Danke für die Antwort in Voraussichten

Answer 1

Hi, das ist nach Definition so. Du kannst auch hingehen und die Kathaische Einheit definieren mit \(k^2 = - 2\), wenn du das möchtest :)

Comments

hi, danke für deine Antwort:) habe ehrlich gesagt nicht erwartet, dass jemand mir um diese Uhrzeit noch antwortet haha... könntest du mir vielleicht ein bisschen mehr Erklärungen dazu geben, wenn du jetzt noch Zeit hast?? (geht auch bei pn) 

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Bitteschön :) Es ist in der Tat schon spät bzw. früh, weswegen ich dir später noch mal genauer antworten werde :)

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okay...................

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Ich denke hier in diesem Video wird es gut erklärt:

Dort geht es unter anderem darum die Gleichung \(x^2+1=0\) zu lösen.

Die Lösungen sind \(x=\sqrt{-1}\) und \(x=-\sqrt{-1}\). Das Problem ist nun, dass wir im reellen keine Wurzel aus negativen Zahlen ziehen dürfen. Im Komplexen ist das allerdings kein Problem! Dafür wurde extra die imaginäre Einheit \(i\) eingeführt mit \(i^2=-1\), woraus \(i=\sqrt{-1}\) folgt.

Somit lauten unsere Lösungen im Komplexen: \(x=i\) und \(x=-i\)

Eine imaginäre Zahl ist von der Form \(z=a+i \cdot b\) mit \(a,b \in \mathbb{R}\). Also beispielsweise \(4-7i\) oder \(1+5,5 i \).

Wollen wir die Gleichung \((x-1)^2+4=0\) lösen, so erhalten wir \(x=1-2i\) und \(x=1+2i\) als Lösungen. Probiere mal selbst auf die Lösungen zu kommen. Davor kannst du dir das Video anschauen. Dort wird alles gesagt, was du wissen musst :)