Vollständige Induktion am Beispiel 3|3^n -3

Question

Guten Tag ich wollte fragen ob ich diese Aufgabe richtig gelöst habe.

Beim I.S bin ich von der Voraussetzung ausgegangen und will zur Behauptung gelangen . Ich habe es deswegen mit 3 multipliziert. Letztendlich steht da 3|^k -9 

Die -9 habe ich unter -3 und -6 aufgeteilt somit habe ich 3|3^k+1  -3 was meine Behauptung  war. 

Die -6 habe ich als 3*(-1-1) aufgeschrieben und weil dort eine drei als vorfaktor ist ist das durch 3 teilbar. 

Meine eigentliche Frage bezieht sich au das letzte Teil. Darf ich die -6 überhaupt so aufgeschrieben ?  

Würde -6 gerne so stehen lassen aber wir machen gerade natürliche Zahlen deswegen bin ich mir sicher ob das geht.

Lg

Comments

Sollst du das wirklich mit vollständiger Induktion beweisen?

$$ 3^n-3 = 3(3^{n-1} -1)$$

für natürliche n sieht man doch eigentlich sofort, dass es durch 3 teilbar ist.

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Emnero sehr aufmerksam  

Ich habe tatsächlich die Frage falsch aufgeschrieben Bzw. selber falsch gelesen. 

Answer 1

Induktionsanfang n = 1

3^1 - 3 ist durch 3 teilbar
3 - 3 ist durch 3 teilbar
0 ist durch 3 teilbar
Stimmt

Induktionsschritt n --> n + 1

3^{n + 1} - 3 ist durch 3 teilbar
3 * 3^n - 3 ist durch 3 teilbar
3 * 3^n - 3 ist durch 3 teilbar
3 * (3^n - 1) ist durch 3 teilbar
Stimmt. Da der Faktor 3 ausgeklammert werden kann, ist der Term durch 3 teilbar.

Ich bin mir hier nicht ganz sicher ob das so erlaubt ist, weil ich mich ja nicht auf den Induktionsanfang berufe. Trotzdem wäre das dann ein direkter Beweis.

Alternativ

3 * 3^n - 3 ist durch 3 teilbar
3 * 3^n - 3 - 3 - 3 ist durch 3 teilbar
3 * 3^n - 3 * 3 ist durch 3 teilbar
3 * (3^n - 3) ist durch 3 teilbar
Stimmt. Da der Faktor (3^n - 3) durch die Induktionsannahme durch 3 teilbar ist.

Comments

Ach mein Fehler sorry ich habe die Frage falsch gelesen und falsche Zahlen benutzt.

Weißt du wie man fragen die man gestellt hat löschen kann ?

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Schreib die Frage richtig hier als Kommentar, dann kann ich das Editieren.

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Die Frage wäre 6|3^n -3 mit vollständige Induktion beweisen 

Aber ich habe die Aufgabe nun bereits gelöst also ist diese Frage auf dieser Seite eigentlich überflüssig 

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Induktionsanfang n = 1

3^1 - 3 ist durch 6 teilbar
3 - 3 ist durch 6 teilbar
0 ist durch 6 teilbar
Stimmt.

Induktionsschritt n --> n + 1

3^{n + 1} - 3 ist durch 6 teilbar
3 * 3^n - 3 ist durch 6 teilbar
3 * 3^n - 3 - 6 ist durch 6 teilbar
3 * 3^n - 3 * 3 ist durch 6 teilbar
3 * (3^n - 3) ist durch 6 teilbar
Stimmt, weil 3^n - 3 als Induktionsannahme durch 6 teilbar ist.