Wahrscheinlichkeit Fußball

Question

Sven und Björn üben das Elfmeterschießen, wobei B. mit 60% Wahrscheinlichkeit ein Tor erzielt und Sven nur mit 40%. Sie vereinbaren einen Wettkampf. Die Elfmeter werden abwechselnd geschossen, wobei Sven beginnen darf und jeder insgesmt höchstens zweimal schießt. Es gewinnt derjenige, welcheer den ersten Treffer erzielt.
a) Berechnen Sie die Gewinnwahrscheinlichkeiten der beiden Spieler?

b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit geht das Spiel unentschieden aus?

c) Würde Fabian anstelle von Sven spielen, so hätten beide Spieler die gleiche Gewinnchance. Welche Trefferwahrscheinlichkeit p hat Fabian?

a und b hab ich schon gemacht, jedoch hab ich Probleme bei der Aufgabe c. 

Ich verstehe nicht wie ich auf p kommen soll und meinen deinen dass Fabian mit Sven Dann die gleiche Gewinnchance haben oder mit Björn. 

 

Answer 1

Hi, also ich verstehe das so, dass Fabien gegen Sven eingetauscht wird und somit Fabien und Björn die gleiche Gewinnchance haben sollen. Die Gewinnwahrscheinlichkeit für Björn ist \( (1-p) \cdot 0,6 + (1-p) \cdot 0,4 \cdot 0,6 \). Die von Fabien ist \( p + (p-1) \cdot 0,4 \cdot p \). Die beiden Gewinnwahrscheinlichkeiten musst du nun gleichsetzen und dann nach p auflösen.

Comments

Kleine Erläuterung: Die Wahrscheinlichkeit, dass Björn mit seinem ersten Schuss gewinnt ist \( (1-p) \cdot 0.6 \), da zunächst einmal Fabian vorbeischießen muss (Wahrscheinlichkeit dafür ist 1-p) und im Anschluß Björn treffen muss (Wahrscheinlichkeit dafür ist 0,6).

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Erstmals Danke für die Hilfe. 

Könntest du mir vielleicht Dieses 

(1-p)*0,4*0,6 erläutern 

Und die gewinnwahrscheinlichkeit von Fabian auch erläutern.

Wäre echt nett 

! 

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Bitte. Im zweiten Summanden bei Björn (Wahrscheinlichkeit dass Björn beim zweiten Schuss trifft) fehlt noch ein (1-p) ist mir aufgefallen. Also \( (1-p) \cdot 0,4 \cdot (1-p) \cdot 0,6 \). Das bedeutet Fabien schießt daneben (Wahrscheinlichkeit 1-p), Björn schießt daneben (Wahrscheinlichkeit 0,4), Fabian schießt daneben (Wahrscheinlichkeit 1-p) und am Ende trifft Björn (Wahrscheinlichkeit 0,6). Die Wahrscheinlichkeit, dass Fabian beim ersten Schuss trifft soll ja p sein, das ist der erste Summand bei Fabian. Wenn er beim zweiten trifft, muss er beim ersten Schuss daneben geschossen haben (Wahrscheinlichkeit 1-p), Björn auch (Wahrscheinlichkeit 0,4) und dann muss Fabian treffen (Wahrscheinlichkeit p). Verstanden? :)

Answer 2

Sven und Björn üben das Elfmeterschießen, wobei B. mit 60% Wahrscheinlichkeit ein Tor erzielt und Sven nur mit 40%. Sie vereinbaren einen Wettkampf. Die Elfmeter werden abwechselnd geschossen, wobei Sven beginnen darf und jeder insgesmt höchstens zweimal schießt. Es gewinnt derjenige, welcheer den ersten Treffer erzielt.
a) Berechnen Sie die Gewinnwahrscheinlichkeiten der beiden Spieler? 

Wahrscheinlichkeiten

1. Schuß
Treffer Sven 0.4 = 40 %
2.Schuß
kein Treffer Sven = ( 1 - 0.4 ) = 0.6
Treffer Björn = 0.6
Björn 0.6 * 0.6 = 0.36 = 36 %
3. Schuß
kein Treffer Sven = 0.6
kein Treffer Björn = 0.4
Treffer Sven = 0.4
Sven 0.6 * 0.4 * 0. 4 = 0.96 = 9.6 %
4.Schuß
kein Treffer Sven = 0.6
kein Treffer Björn = 0.4
kein Treffer Sven = 0.6
Treffer Björn = 0.6
Björn 0.6 * 0.4  * 0.6 * 0.6 =
= 0.864 = 8.64 %

Gesamtwahrscheinlichkeiten nach 2 Schüssen
für einen Treffer
Sven 49.6 %
Björn 44.64 %

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b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit geht das Spiel unentschieden aus?

Null.
Nach der Aufgabenstellung gewinnt derjenige
der den ersten Treffer erzielt. Ein Unentschieden
ist nicht vorgesehen.

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c) Würde Fabian anstelle von Sven spielen, so hätten beide Spieler die gleiche Gewinnchance. Welche Trefferwahrscheinlichkeit p hat Fabian? 

f : Trefferwahrscheinlichkeit Fabion
Björn 60 %
jeder max 2 Schuß

1.Schuß
f ( treffer für fabian )
2.Schuß
( 1 - f ) * 0.6 ( treffer für björn )
3.Schuß
( 1 - f ) * 0.4 * f ( treffer für fabian )
4.Schuß
( 1 - f ) * 0.4 * ( 1- f ) * 0.6 ( treffer für björn )

1. + 3. = 2. + 4.
f = 0.375 = 37.5 %

Alle Angaben ohne Gewähr.

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Gesamtwahrscheinlichkeiten nach 2 Schüssen
für einen Treffer
Sven 49.6 %
Björn 44.64 %

Wenn es keine andere Möglichkeit gibt als das einer Gewinnt sollte die Addition der Wahrscheinlichkeiten 100% betragen oder?

Wo sind also die restlichen 5.76% geblieben?

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Die habe ich ja dir überlassen. Grins.

Answer 3

Georgborn hat fast alles richtig beantwortet.

a) Berechnen Sie die Gewinnwahrscheinlichkeiten der beiden Spieler?

P(Sven gewinnt) = 0.4 + (1 - 0.4)·(1 - 0.6)·0.4 = 0.496
P(Björn gewinnt) = (1 - 0.4)·0.6 + (1 - 0.4)·(1 - 0.6)·(1 - 0.4)·0.6 = 0.4464

b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit geht das Spiel unentschieden aus?

P(unentschieden) = (1 - 0.4)·(1 - 0.6)·(1 - 0.4)·(1 - 0.6) = 0.0576

c) Würde Fabian anstelle von Sven spielen, so hätten beide Spieler die gleiche Gewinnchance. Welche Trefferwahrscheinlichkeit p hat Fabian?

p + (1 - p)·(1 - 0.6)·p = (1 - p)·0.6 + (1 - p)·(1 - 0.6)·(1 - p)·0.6
1.4·p - 0.4·p^2 = 0.24·p^2 - 1.08·p + 0.84
0.64·p^2 - 2.48·p + 0.84 = 0 --> p = 3/8 = 0.375

Comments

Hallo coach,
die Möglichkeit das keiner einen Treffer
erzielen würde hatte ich übersehen.