Symmetrieverhalten bei Funktionsschar bei a<>0

Question

Die Funktion  f(x)= -2(1/2*x^3-ax^2+ax-a) soll in Abhängigkeit von a auf symmetrie überprüft werden.

Ich habe  eine Fallunterscheidung begonnen mit

a=0 --> f(x)=-x^3 --> punktsymmetrisch zu P(0/0)

was ist aber bei a<>0 ????

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Vom Duplikat:

Titel: Symmetrieverhalten bei Funktionsschar

Stichworte: funktionenschar,parameter

Die Funktion  f(x)= -2(1/2*x^3-ax^2+ax-a) soll in Abhängigkeit von a auf symmetrie überprüft werden.

Ich habe  eine Fallunterscheidung begonnen mit

a=0 --> f(x)=-x^3 --> punktsymmetrisch zu P(0/0)

was ist aber bei a<>0 ????

Answer 1

Für a <> 0 ist die Funktion nicht symmetrisch, weil gerade und ungerade Potenzen von x auftreten. 

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Danke für die Antwort bitte noch den Wendepunkt!

Ich komm nicht klar, weil doch f''' = 0 ist und das dann kein Wendepunkt  sein kann.

Laut Zeichnung ist der für a=0 aber bei P(0/0)

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f(x) = - 2·(1/2·x^3 - a·x^2 + a·x - a)

f(x) = - x^3 + 2·a·x^2 - 2·a·x + 2·a

f'(x) = - 3·x^2 + 4·a·x - 2·a

f''(x) = 4·a - 6·x = 0 --> x = 2/3·a

f'''(x) = -6

f(2/3·a) = - (2/3·a)^3 + 2·a·(2/3·a)^2 - 2·a·(2/3·a) + 2·a = 16/27·a^3 - 4/3·a^2 + 2·a

WP(2/3·a | 16/27·a^3 - 4/3·a^2 + 2·a)

PS. Die 3. Ableitung ist hier immer ungleich 0. Weiterhin bedeutet es wenn die 3. Ableitung gleich null wäre nicht zwangsläufig das es kein WP gibt. Betrachte dafür mal y = x^5