Wann wird ein Graph an der x-Achse gestreckt oder gestaucht?

Question

wenn a größer als 1 ist spricht man von einer Streckung in x Richtung

wenn a kleiner als 1 ist von einer Stauchung in x richtung

stimmt das?

und ab wann wird der Graph an der y-Achse gespiegelt?

Answer 1

Der Graph der Funktion

        g(x) = (ax)² + 3·(ax) + 1

ist gegenüber dem Graphen der Funktion

        f(x) = x² + 3·x + 1

um den Faktor a entlang der x-Achse gestreckt. Ist |a| < 1, dann handelt es sich um eine Streckeung, ist |a| > 1, dann handelt es sich um eine Stauchung. Ist a < 0, dann wird zusätzlich an der y-Achse gespiegelt

Der Graph der Funktion

        h(x) = a·(x² + 3·x + 1)

ist gegenüber dem Graphen der Funktion

        f(x) = x² + 3·x + 1

um den Faktor entlang der y-Achse gestreckt. Ist |a| < 1, dann handelt es sich um eine Stauchung, ist |a| > 1, dann handelt es sich um eine Streckung. Ist a < 0, dann wird zusätzlich an der x-Achse gespiegelt.

> wenn a größer als 1 ist

Ich habe eine Ahnung, in welchem Zusammenhang das a steht. Im Allgemeinen:

        g(x) = f(ax) ist eine hoizontale Streckung oder Stauchung. Jedes einzelne x wird mit a multipliziert.

        g(x) = a·f(x) ist eine vertikale Streckung oder Stauchung. Der Funktionnsterm als Ganzes wird mit a multipliziert.

Comments

Okay vielen Dank für die Hilfe das hat mir total geholfen!

Habe es jetzt vertsanden!

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Wäre super wenn sie )

Wäre super wenn sie nochmal drüber gucken könnten :)

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Die y-Richtung stimmt.

Bei der x-Richtung hast du Streckung und Stauchung vertauscht. Ich frag mich, was da wohl stand bevor du es mit TipEx übermalt hast.

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Haha ja davor hatte ich es andersrum :)

aber wenn doch zum beispiel a = 3 ist 

dann macht man ja 1/3 x

und das ist dann ja eine streckung

also muss bei a größer 1 streckung stehen oder nicht?

Vielen dank für die hilfe :)

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Deshalb ist es ja so wichtig, dass du etwas über den Zusammenhang erzählst, in dem du die Variable verwendest.

Wenn du das a verwendest, um daraus 1/a zu machen, dann hast du natürlich Recht. Das dein Lehrer wahrsheinlich deshalb so erklährt, damit ihr euch nicht zwei unterschiedliche Regeln merken müsst.

Bei der Verschiebung in x- und in y-Richtung ist es auch so:

f(x) + a verschiebt nach oben, wenn a>0 ist

f(x-a) verschiebt nach rechts, wenn a>0 ist

Anders formuliert, f(x+a) verschiebt nach rechts, wenn a<0 ist.

Answer 2

Ich versuche mal, einen etwas allgemeineren Ansatz vorzustellen:

Betrachten wir dazu eine beliebige Kurve in einem kartesischen xy-Koordinatensystem. Zur Vereinfachung nehmen wir an, die Kurve wäre durch eine Koordinatengleichung über die Variablen x und y beschrieben.

Ersetzen wir nun in dieser Koordinatengleichung jedes x durch den Term (x/k) und betrachten die so beschriebene neue Kurve im Verhältnis zur alten Kurve, so erscheint sie um den Faktor k in x-Richtung parallel gestreckt.

Dies gilt sinngemäß auch für die andere Koordinate: Ersetzen wir jedes y durch den Term (y/k), so erscheint die neue Kurve um den Faktor k in y-Richtung gestreckt.

Ist im letzten Falle die Koordinatengleichung die Gleichung einer Funktion, so wollen wir vielleicht die manipulierte Gleichung (y/k)=f(x) nach y umstellen zu y=k*f(x).

Gilt |k|<1, so spricht man auch von einer "Stauchung", obwohl dies meiner Meinung nach keine schöne Begriffsführung ist.

Für k<0 erscheinen die neuen Kurven jeweils noch zusätzlich an der Achse der nicht manipulierten Variablen gespiegelt.

Diese Betrachtungen lassen sich noch weiter fortsetzen, schließlich gibt es auch noch viele andere Transformationen. Ich hoffe, dieser Ansatz liefert einen nachvollziehbaren und systematischen Zugang zu der Standardtransformation "Streckung".