Bestimmen Sie Betrag und Argument von −i, −3, 1 + i und cosθ + isinθ

Question

1. Bestimmen Sie Betrag und Argument von −i, −3, 1 + i und cosθ + isinθ und schreiben Sie diese Zahlen anschliessend in exponentieller Form.

2. Beweisen Sie, dass e^{iωt} + e^{−iωt} = 2cos(ωt). Bestimmen Sie einen ähnlichen Ausdruck für eiωt − e−iωt.

Answer 1

zu 1)

- i

=  a + b i

=  0 +  ( - 1 ) * i 

=> r = | - i |= √ ( a ² +  b ² ) = √ ( 0 ² + ( - 1 ) ² ) = 1

φ = - arccos ( a / b ) = - arccos ( 0 / 1 ) = - π / 2

Exponentialschreibweise:

- i = e ^{- i * π/2}

 

r = | cos θ + i sin θ | = √ ( cos ² θ + sin ² θ ) = √ 1 = 1

φ = θ

Exponentialschreibweise:

cos θ + i sin θ = e ^{i * θ}

Übrige Aufgaben ähnlich.

 

Zu 2)

Anm.: Anstelle von ω schreibe ich im Folgenden w (das tippt sich einfacher).

e^{i w t} + e^{−i w t}

= cos ( w t ) + i sin ( w t ) + cos ( - w t ) + i sin ( - w t )

= cos ( w t ) + cos ( - w t ) + i ( sin ( w t ) + sin ( - w t ) ) 

[Der Sinus ist punktsymmetrisch zum Ursprung, daher gilt: sin ( - a ) = - sin ( a ) .
Der Kosinus ist achsensymmetrisch zur Ordinatenachse, daher gilt: cos ( - a ) = cos ( a ) .
Also:]

= cos ( w t ) + cos ( w t ) + i ( sin ( w t ) - sin ( w t ) )

= 2 cos ( w t ) + i * 0

= 2 * cos ( w t ) 

q.e.d.

 

e^{i w t} - e^{−i w t}

= cos ( w t ) + i sin ( w t ) - [ cos ( - w t ) + i sin ( - w t ) ]

= cos ( w t ) - cos ( - w t ) + i ( sin ( w t ) - sin ( - w t ) ) 

[Wie oben gilt: sin ( - a ) = - sin ( a ) , cos ( - a ) = cos ( a ) , also:]

= cos ( w t ) - cos ( w t ) + i ( sin ( w t ) + sin ( w t ) )

= 0 + i ( 2 cos ( w t ) + i * 2 * sin ( w t )

= i * 2 * sin ( w t )  

Comments

was berechnest du genau  bei r = | cos θ + i sin θ | = √ ( cos ² θ + sin ² θ ) = √ 1 = 1 ? lg

---

Der Betrag einer komplexen Zahl a + i b ist deren Länge in der gaußschen Zahlenebene und wird in der Regel mit r bezeichnet und als | a + i b | geschrieben.

Die Formel | a + i b | = √ ( a ² + b ²) ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras. In diese Formel habe ich

a = cos θ und b = sin θ eingesetzt und so den Ausdruck √ ( cos ² θ + sin ² θ ) erhalten.

Am Einheitskreis lässt sich nun zeigen, das für jeden Winkel θ gilt:

cos ² θ + sin ² θ = 1

Also ist √ ( cos ² θ + sin ² θ ) = √ 1 = 1

 

Alles klar? :-)

---

bei der ersten antwort auf -i ist die Lösung -i= e^3π/2 wie kann man dein resultat umformen damit man das erhaelt?

---

wie wuerde man -3 statt -i berechnen?

---

rechne -π/2 + 2π = 1.5π = 3π/2

Wegen der 2π - Periodizität von e^{ix}

-3 = a + ib

a = -3, b = 0

r = √((-3)^2 + 0^2) = 3

phi = arccos (a/r) = arccos (-3/3) = π

Nun musst du einfach noch wissen, dass die 2. Lösung phi = 0+π = π ist.

Beachte aber, dass du hier bei 1 die Definition anwenden kannst und nichts zu rechnen ist. Lies das an der Darstellung in der komplexen Zahlenebene einfach ab! Das ist viel einfacher.

---

@JotEs: Du wolltest wohl φ = - arccos ( a / r ) schreiben. b funktioniert hier nur zufälligerweise.

Answer 2

Hier noch die beiden Rechnungen, die JotEs dir überlassen hat:

1+i= 1 +1 i  = a + ib

r= √(1+1) = √2

phi = arccos (a/r) = arccos (1/√2) = π/4

1+i = √2 e^{iπ/4}

und

cosθ + isinθ = a + ib

a= cosθ , b = sinθ

r = √(cos^2 θ + sin^2 θ) = 1

phi = arccos (a/r) = arccos(cosθ) = θ

cosθ + isinθ = e^{iθ}

Comments

danke und wie berechnet man -3 habe das probiert aber bei mir gabs error

---

Habe ich dir doch vorher schon berechnet. Ich ergänze noch einen Schritt, da ich annehme, dass du bei der Eingabe ein Klammer vergessen hast.

-3 = a + ib

a = -3, b = 0

r = √((-3)² + 0²) = 3

phi = arccos (a/r) = arccos (-3/3) = arccos (-1) = π

Nun musst du einfach noch wissen, dass die 2. Lösung phi = 0+π = π ist.

Beachte aber, dass du hier bei 1 die Definition anwenden kannst und nichts zu rechnen ist. Lies das an der Darstellung in der komplexen Zahlenebene einfach ab! Das ist viel einfacher.