Invertierbare Matrizen bestimmen

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Matrix
$$ A=\left(\begin{array}{rrrr} {11} & {-5} & {4} & {6} \\ {-15} & {7} & {-6} & {-8} \\ {2} & {-1} & {1} & {1} \end{array}\right) $$
Bestimmen Sie \( r=\operatorname{Rang}(A) \) und invertierbare Matrizen \( P \) und \( Q \) mit
$$ P A Q=\left(\begin{array}{cc} {1_{r}} & {0} \\ {0} & {0} \end{array}\right), \quad \text { also mit }(P A Q)_{i, j}=\left\{\begin{array}{ll} {1} & {\text { falls } i=j \leqslant r} \\ {0} & {\text { sonst }} \end{array}\right. $$

Kann mir jemand helfen wie man P und Q bestimmt?

Also der Rang von A ist 3

[11,−5,4,6=0]
[−15,4,−6,−8=0]
[2,−1,1,1=0]

Bei dem Part von den invertierbare Matrizen P&Q habe ich

[a,b,c]* A =[j,k,l,m]
[d,e,f]         [n,o,p,q]

[j,k,l,m]⋅   [e,f]                 [1,0]
[n,o,p,q]  [g,h]        =      [0,0]
                [i,j]
                [k,l]

Wie berechne ich (a,b,c...,j,k,l)?

Answer 1

Gehe schrittweise vor:

A1:=L1 A: 1 Zeile zu 2 und 3 ergibt Spalte 1  0

L1:={{1,0,0}, {-A(2,1)/A(1,1),1,0},{-A(3,1)/A(1,1),0,1} }

\(L1 \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\\frac{15}{11}&1&0\\-\frac{2}{11}&0&1\\\end{array}\right)\)

\(A1 \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrr}11&-5&4&6\\0&\frac{2}{11}&-\frac{6}{11}&\frac{2}{11}\\0&-\frac{1}{11}&\frac{3}{11}&-\frac{1}{11}\\\end{array}\right)\)

L2:={{1,0,0},{0,1,0},{0,-A1(3,2)/A1(2,2),1}}

\(L2 \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&\frac{1}{2}&1\\\end{array}\right)\)

A2:=L2 A1

\(A2 \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrr}11&-5&4&6\\0&\frac{2}{11}&-\frac{6}{11}&\frac{2}{11}\\0&0&0&0\\\end{array}\right)\)

Jetzt das gleiche mit den Spalten: A3 R1 R2

\(R1 \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&1&3&-1\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{array}\right)\)

\(R2 \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrr}1&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&1&1\\0&0&0&1\\\end{array}\right)\)

L2 L1 A R1 R2  = \(\left(\begin{array}{rrrr}11&-5&0&0\\0&\frac{2}{11}&0&0\\0&0&0&0\\\end{array}\right)\)

P:=L2 L1 und Q:=R1 R2

Comments

Könntest du das vielleicht noch erläutern? Was ist L? Was ist R?

P ist L2*L1 oder wie ist die Schreibweise jeweils zu verstehen?

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L von Links sind Zeilenoperationen

R von Rechts sind Spaltenoperationen

L1 Zeile2 {15/11, 1, 0} heisst für

L1 A multipliziere A, Zeile 1 mit 15/11 und addiere zur 2. Zeile von A, usw - das Ergebnis sind die 0en in Spalte 1 von A1

L2 L1 beschreiben die Gaussschritte (Zeilenoperationen) als Matrixmultiplikation

bei den Spalten R1 R2 analog...

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Mir fällt grad auf, dass ich beim Übertragen oben einen Schritt ausgelassen habe. In R2 fehlt die 2. Spalte und das Normieren der Diagonale: Also komplett:

A≔{{11,−5,4,6},{−15,7,−6,−8},{2,−1,1,1}}
L1≔{{1,0,0},{15/11,1,0},{−2/11,0,1}}
A1:= L1 A
L2≔{{1,0,0},{0,1,0},{0,1/2,1}}
A2:=L2 A1
L3≔{{1/11,0,0},{0,11/2,0},{0,0,1}}
A3:=L3 A2

R1≔{{1,0,0,0},{0,1,3,−1},{0,0,1,0},{0,0,0,1}}
A4:=A3 R1
R2:={{1,5/11,1,-1},{0,1,0,0},{0,0,1,0},{0,0,0,1}}
A4 R2

L3 L2 L1 A R1 R2

\( \left(\begin{array}{rrr}\frac{1}{11}&0&0\\\frac{15}{2}&\frac{11}{2}&0\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&1\\\end{array}\right)* \left(\begin{array}{rrrr}11&-5&4&6\\-15&7&-6&-8\\2&-1&1&1\\\end{array}\right) * \left(\begin{array}{rrrr}1&\frac{5}{11}&1&-1\\0&1&3&-1\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{array}\right)= \left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\\\end{array}\right)  \)

gerechnet in GeoGebra

Answer 2

Also ich bekomme nach Anwendung des Gauss-algorithmus 

1  0   -1    1
0  1    -3   1
0   0    0    0   

also rang=2 und Basis von Kern A bilden  z.B.

v1= 1    und  v2 =  -1
       3                     -1
       1                      0
       0                      1

Wähle also in ℝ⁴ die Basis  aus den ersten beiden kanonischen

Einheitsvektoren e₁ und e₂ ergänzt um diese beiden.

Und berechne die Bilder von e1 und e2 und ergänze diese zu einer Basis von ℝ³.

Dann hat die zu A gehörige lin. Abb. eine Matrix, wie sie bei PAQ gefordert ist.

Also sind P und Q die Matrizen der zugehörigen Basiswechsel bzw. deren Inverse:

P = (Inverse des 2. basiswechsels) 

3,5    2,5     0
7,5    5,5      0
0,5    0,5      1     und Q die vom 1. Basiswechsel

1   0    1    -1
0   1    3    -1
0   0    1     0
0   0     0     1.

Dann passt es.

Answer 3

Der Rang ist laut Gauß 2