Komplexe Zahl i als Nullstelle des Polynoms P(z) = z^3 + (2 − i)z^2 + (5 − 2i)z − 5i

Question

lineare algebra aufgabe 10

10. Zeigen Sie, dass die komplexe Zahl i eine Nullstelle des Polynoms
P(z) = z^3 + (2 − i)z^2 + (5 − 2i)z − 5i
ist.

Bestimmen Sie dann alle anderen Nullstellen und drücken Sie schliesslich P(z) als Produkt von Linearfaktoren aus.

Answer 1

du berechnest P(i) und stellst unter Beachtung der Rechenregel i^2 = -1 fest, dass P(i) = 0 gilt.

Darauf machst du Polynomdivision gemäß P(z) / (z- i) und erhältst ein Polynom zweiten Grades dessen Nullstellen du über die p-q-Formel berechnen kannst.

Danach stellst du P(z) als Produkt seiner Linearfaktoren (Nullstellen liegen in ℂ) dar.

MfG

Mister

PS: Zur Kontrolle: Die Nullstelle z_1 ist mit z_1 = i gegeben. Die Nullstellen aus der p-q-Formel ergeben z_2,3 = - 1 ± 2 i.

Comments

PPS: Der Grad, mit dem eine Frage ernst genommen wird, erhöht sich bei korrekter Rechtschreibung in der Fragestellung.

Answer 2

Habe es mal mit der expliziten PQRST-Formel nachgerechnet unter

http://www.lamprechts.de/gerd/php/gleichung-6-grades.php  

stimmt mit Mister überein.

Vorteil: kein Vorwissen einer Nullstelle und keine Polynomdivision nötig.

Hinweis: kein Schulstoff!