Gleichung x=1+1/x soll aus einem Rechteck gelten

Question

Ich brauche Hilfe bei der folgenden Aufgabe

Wir betrachten das Rechteck ABCD

mit Strecke AB< Strecke BC und ein Quadrat ABFE, sodass die Rechtecke ABCD und EFCD kongruent sind, dh. Strecke BC/Strecke AB=Strecke EF/Strecke ED. Die Zahl x=Strecke BC/Strecke AB wird als goldener Schnitt bezeichnet.

Nun soll ich zeigen, dass x=1+1/x ist und daraus folgern, dass x eine Nullstelle des Polynoms x^2-x-1 ist. Dann soll ich auch noch die zweite reelle Nullstelle des Polynoms bestimmen. 

Kann mir da jemand helfen?

Answer 1

sodass die Rechtecke ABCD und EFCD kongruent sind,

heißt wohl

sodass die Rechtecke ABCD und EFCD ähnlich sind,
denn kongruent geht ja wohl nicht.

Dann ist 

Strecke BC/Strecke AB=Strecke EF/Strecke ED

Die Zahl x=Strecke BC/Strecke AB wird als goldener Schnitt bezeichnet.

Nenne mal AB=a und BC=b , dann ist auch EF=a (wegen Quadrat ABFE)

und BF=a und AE=a .

Also ist schon mal Strecke BC/Strecke AB = b/a  = x 

und ED = b-a , also Strecke EF/Strecke ED  =  a / (b-a) .

also gilt  b/a = a / (b-a) oder auch 

                   a/b = (b-a) / a = b/a - 1 

oder mit dem x formuliert :

                1/x  =   x  - 1      | *x 

                   1 = x² - x 

                 0 = x² - x - 1 

Gibt mit pq-Formel  (1+√5) / 2  oder   (1- √5) / 2  .

Die zweite Lösung ist als Teilverhältnis eher unsinnig,

da negativ.

siehe auch https://de.wikipedia.org/wiki/Goldener_Schnitt#Algebraisch

Answer 2

Wir betrachten das Rechteck ABCD mit Strecke AB< Strecke BC und ein Quadrat ABFE, sodass die Rechtecke ABCD und EFCD kongruent sind,Das soll vielleicht ähnlich heißen?

Dann wird ein großes Rechteck mit den Seitenlängen a und a+b aufgeteilt in ein Quadrat mit der Seitenlänge a und ein kleines Rechteck mit den Seitenlänge a und b. Da die Rechtecke ähnlich sein sollen, muss gelten: (a+b)/a=a/b. Das kann man umformen zu 1+b/a= a/b. Setze nun a/b=x. Dann ist b/a=1/x und es heißt: 1+1/x=x. Durchmultiplizieren mit x ergibt x+1=x². Äquivalent dazu sind auch: x=1+1/x  und  x²-x-1 =0. Die letzte quadratische Gleichung löst man mit der p-q-Formel.Lösungen x_1/2=1/2±√5/2.