Bilde am besten für alle Parabeln zunächst die Scheitelpunktform, denn der Scheitelpunkt S ( xs | ys ) ist bei allen Parabeln klar abzulesen. Ebenfalls ist klar abzulesen, dass bei jeder der nach oben geöffneten Parabeln die Funktionswerte an den Stellen xs - 1 und xs + 1 jeweils um 1 größer sind, als der Funktionswert von xs. Das bedeutet, dass es sich um Normalparabeln handelt, also um Parabeln mit dem Streckfaktor a = 1.
Bei der nach unten geöffneten Parabel sind die Funktionswerte an den Stellen xs - 1 und xs + 1 jeweils um 1 kleiner sind, als der Funktionswert von xs. Es handelt sich daher auch bei dieser Parabel um eine Normalparabel, allerdings um eine gespiegelte. Ihr Streckfaktor ist daher a = - 1
Die allgemeine Scheitelpunktform lautet:
f ( x ) = a ( x - xs ) 2 + ys
Setzt man die abgelesenen Werte ein, so erhält man jeweils:
n : S ( xs | ys ) = ( 0 | 0 ) , a = 1 also: n ( x ) = 1 * ( x - 0 ) 2 + 0 = x 2
g : S ( xs | ys ) = ( 1 | 2 ) , a = 1 also: g ( x ) = 1 * ( x - 1 ) 2 + 2
h : S ( xs | ys ) = ( - 2 | - 1 ) , a = 1 also: h ( x ) = 1 * ( x - ( - 2 ) ) 2 + ( - 1 ) = ( x + 2 ) 2 - 1
f : S ( xs | ys ) = ( 2 | 1 ) , a = - 1 also: f ( x ) = - 1 * ( x - 2 ) 2 + 1 = - ( x - 2 ) 2 + 1
Aus den Scheitelpunktformen kann man nun durch Ausmultiplizieren und Zusammenfassen der Funktionsterme die Polynomforme bilden.
Beispiel h ( x ):
h ( x ) = ( x + 2 ) 2 - 1
= x 2 + 4 x + 4 - 1
= x 2 + 4 x + 3
Die Linearform kann man wiederum leicht aus dem Schaubild ablesen. Sie existiert nur für diejenigen Parabeln, die mindestens eine Nullstelle haben, also für h ( x ) , f ( x ) und n ( x )
Die allgemeine Linearfaktorform lautet:
f ( x ) = a * ( x - x1 ) * ( x - x2 )
wobei x1 bzw. x2 die Nullstellen von f sind.
Anm.: Wenn f nur eine Nullstelle hat, dann ist dies eine sognannte "doppelte Nullstelle". In diesem Fall ist x2 = x1 zu setzen.
Die Nullstellen von h ( x ) sind x1 = - 3 und x2 = - 1. Der Streckfaktor ist a = 1, also:
h ( x ) = 1 * ( x - ( - 3 ) ) * ( x - ( - 1 ) ) = ( x + 3 ) * ( x + 1 )
Die Nullstellen von f ( x ) sind x1 = 1 und x2 = 3. Der Streckfaktor ist a = - 1, also:
f ( x ) = - 1 * ( x - 1 ) * ( x - 3 )
Die Nullstelle von n ( x ) ist x1 = 0. Da es sich um eine doppelte Nullstelle handelt, ist auch x2 = 0. Der Streckfaktor ist a = 1 , sodass gilt:
n ( x ) = 1 * ( x - 0 ) * ( x - 0 ) = ( x - 0 ) * ( x - 0 )
Die Funktion g ( x ) besitzt keine Nullstellen, also kann sie auch nicht in Linearfaktorform geschrieben werden.
