sin(x)+sin^-1(x) nach x auflösen

Question

gibt es eine Möglichkeit sin(x) + sin^-1 (x) nach x aufzulösen?

Comments

Welche Gleichung meinst du?

Ohne ein Gleichheitszeichen kann man nichts nach x auflösen. Leider 

Ausserdem ist bei goniometrischen Gleichungen in der Regel ein Bereich angegeben, in dem die Lösungen zu bestimmen sind. 

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Hallo Vroni,

> ... sin(x) + sin^-1 (x) nach x aufzulösen?

 Nach x auflösen kann man nur Gleichungen, und das geht natürlich auch nicht immer explizit !?

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In dem Fall handelt es sich um eine ziemlich komplexe physikalische Gleichung. Das Ergebnis soll also keine Zahl sein. Vereinfacht wäre das sin(x) + sin^-1 (x) = t

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Jetzt musst du auch noch sagen, ob sin^{-1}(x) ein Bruch sein soll, oder ob das für arcsin(x) steht. 

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Das soll 1/sin (x) sein.

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wie gesagt kann man vereinfacht ...=t sagen.

Komplett wäre es aber

sin(x) + 1/sin(x) = (-g*(2*h)^0,5/v)^2

Answer 1

sin(x) + sin^-1 (x) = t    | * sin(x)

sin^2(x) + 1 = sin(x) *t    | Substitution u = sin(x) 

u^2 + 1 = u t       | Das ist nun eine quadratische Gleichung. Vielleicht hat sie reelle Lösungen. 

Bestimme sie.

Danach Rücksubstitution nicht vergessen. 

Comments

Das hilft mit auf jeden Fall schon mal weiter.

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Bitte. Gern geschehen !

Übrigens: sin(x) = 0 ist von Anfang an ausgeschlossen. D.h. x = 0° und x = 180° ist zu vermeiden, falls denn dein t ausgerechnet aus so was hinauslaufen sollte. 

Answer 2

Hallo Vroni,

sin(x) + 1 / sin(x)  =  t       D_max = ℝ \ {0}

sin²(x) + 1 = t * sin(x)     

sin²(x) - t * sin(x) + 1 = 0

setze z = sin(x) 

z² - t * z  + t = 0

z² + pz + q = 0
pq-Formel:  
z_1,2 = - p/2 ± \(\sqrt{(p/2)^2 - q}\) 

Wenn (je nach t) der Term unter der Wurzel nicht negativ ist:

z₁ = (√(t·(t - 4)) + t) / 2       ;     z₂  = (t - √(t·(t - 4))) / 2 

sin(x) = (√(t·(t - 4)) + t) / 2  oder  sin(x) = (t - √(t·(t - 4))) / 2

Wenn die Terme in [-1 ; 1]  \ {0}  liegen:

x = arcsin( (√(t·(t - 4)) + t) / 2 ) + k * 2π   

           oder  x = π - arcsin( (√(t·(t - 4)) + t) / 2 ) + k * 2π  

           oder  x = arcsin( (t - √(t·(t - 4))) / 2 )  + k * 2π   

           oder   x = π - arcsin( (t - √(t·(t - 4))) / 2 )  + k * 2π

Je nach Definitionsbereich musst du dann passende k∈ℤ bestimmen.

Gruß Wolfgang